什么是数学

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数学是一种关于形的知识,是用数量来描述形。知识有两种,一种是人们对于客观世界的认识,是唯物的;二是人们思想中虚构的,是唯心的。不管哪种,知识都不能当饭吃,精神食粮而已。

数学从数的构造开始。先是上天创造了自然数,人类加进了零和负数;加减乘除导致了有理数,极限产生了实数,与一条直线上的点完美地一一对应。解方程带出了虚数,三维旋转产生了四元数。把数组合在一起,有序的,成了矢量、矩阵、张量;无序的,成了集合–又回到了起点。有运算规律的,成了群、环、域、向量空间,稍微有点关系的,成了偏序集、全序集。集合的集合,成了范畴;叠加的叠加,成了宇宙;关于知识的知识,成了上天。

变量的引进成就了数学。一个变量,其实就是一个容器,就像电脑内、外存里的一个存储地此,把一切未知的东西装入其中。变量当然不止一个,也不是有限个,而是无穷多个!还有无穷多个的无穷大。因此,变量之间的相互关系就成了人们唯一能够驾驭的东西,也就有了函数。

数学的目的正是为了弄清楚各种形态之间的相互关系,以及变换规律。数学对像之间的运算规律,成了学生们大量花时间之所在,也成了老师们犯糊涂之所在。可规律是自然的,不是人定的;人类的脑子是可以揭示、理解它们的。

物体的运动规律,已经由牛顿的运动定律近似地揭示,爱因斯坦的相对论给以了改进,但还不是全面的。Schrodinger的波动方程就完美了吗?当然不是,方程永远都只是近似的。我们只有彻底弄清楚了物质的结构和变化规律,才可能得到准确的方程。

虚构的、唯心的理论,比如分形几何、非欧几何,只要不是自相矛盾,在数学上都是可行的,尽管理科学者们不承认,但也无法说你错。只要能够构造出来,那就是存在的,对错因人而异,并没有一个放之思海而皆准的公理或标准。我们学习知识的目的,是为了创造,而不是为了评说。

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