分类:数学全集 的存档信息

微分几何

微分几何是用微分的方法研究曲线和曲面在点上的局部性质,因此要求它们有足够高次的导数。关键的概念是长度,因为角度和面积都可以用长度来确定;因此,在微分几何里,曲面的弯曲变形也是以保持曲线长度不变为前提的。 平面和空间曲线都是一维的,其方程(曲线上点的坐标)可以用一个参数给出。与平面曲线有关的是三个基本概念:长度、切线、曲率。 空间曲线则还有密接平面和… (阅读全文)

函数总论

记得在我读博的第二年,回乡下的老家过暑假时,一位老乡问我毕业了没有?我说还有一年。他大吃一惊:怎么加减乘除都要学这么多年?他知道我是学数学的。 现在的数学那么大,难道就真的没有办法将其统一?我思考了许多年,终于想到了一个办法。正如标题所表明的,各种数是可以表示的,各种形体也是可以描述的,各种函数及其运算是可以统一的。具体的思路是: 。。。          … (阅读全文)

数值分析

如果一个量或方程的解可以用整数的有限次加、减、乘除来完成,那是最理想的。然而,实际问题中,我们并没有精确的公式,只有近似值。数值分析就是要找到一种近似计算的方法,以容许的误差,对有限个数进行有限步运算,而得到有限个结果。计算方法的设计与负责计算的数学家的知识和经验有很大的关系。 如果用一个数列去逼近某个准确值,我们首先要确定数列的收敛性;这样就从理… (阅读全文)

函数逼近

正如实数要用有理数来逼近一样,函数也可以用一些简单函数,如多项式、有理函数、三角多项式来逼近。 多项式是最简单的函数,它只涉及加、减、乘三种算术运算。对于无穷次可微的函数,泰勒级数的部分和提供了很好的逼近,误差的估计也可以用拉格朗日余项或积分余项得到。实际上,初等函数值的计算正是按此进行的。 对于一般的函数,我们可以用插值多项式逼近。我们有牛顿插值… (阅读全文)

线性泛函

泛函分析研究高维及无穷维空间里的函数以及算子。算子是把一个函数变成另一个函数的一种变换;线性算子是有限维向量空间里的线性变换的推广,而线性泛函是取实值或复值的线性算子。 要定义函数,先得有定义域,这必须有赖以寄存的空间。我们分三个层次来定义空间,并按性质将其分类。首先是距离空间。欧氏空间里的距离是很直观的;在一般的无穷集合(数、点、集、函数等等任何… (阅读全文)

线性代数

线性代数的第一个问题是解多元一次方程组,一般解法是Gauss消元法,即通过以下三种同解变换把方程组变为阶梯形: 一个方程乘以一个非零数,加到另一个方程; 一个方程的两边同除以一个非零数; 交换两个方程的位置。 这些运算实际上只是对系数进行,与变量无关。于是,人们只把系数及右边的常数项排成一个数阵,就得到了一个矩阵;解方程组就等同于对此矩阵进行行变换。   矩… (阅读全文)

抽象代数

抽象代数研究运算的性质、代数系统之间的关系以及分类。究竟有多少种运算?那要看运算的对象。我们已经有了实数、复数、四元数、向量、矩阵、集合、范畴,也许还会有别的新发现;而运算可以是完全抽象的,你只要能把一个对象变成另外一个对象,或是把两个对象捏成一个就行。 一个代数系统是一个具有一个或多个运算的集合S。一个m元运算指的是,对于集合S中的任意m个元素,按照… (阅读全文)

数理统计

数理统计研究样本的分布、参数估计,对某项假设进行检验,还要做预测。 1.抽样分布 研究对象的全部元素所组成的集合称为母体或总体。母体中一定数量的元素所组成的有序集合(X1,X2,。。。, Xn)称为一个子样,子样的观察值通常用小写字母表示。子样的可测函数,如果不含任何未知参数,就称为一个统计量。常用的统计量有:平均值、方差、矩、相关系数、次序统计量等。 当子样是… (阅读全文)

概率论

概率论研究的对象是随机现象,即不可预测或控制的现象。随机现象的一个结果就叫一个随机事件;而每一个基本结果称为一个样本点,所有样本点的集合称为样本空间。因此,随机事件就是一些样本点的组合,事件的相互关系及运算与集合类似。 随机事件的概率是其发生的可能性的一种度量。在样本空间V的所有子集上定义一个非负函数P,如果它满足: (i) 0  ≤  P(A) ≤ 1,(ii) P(V) = 1… (阅读全文)

实变函数

由于黎曼积分要求被积函数连续或分段连续,但还有大量的间断函数,这使得黎曼考虑了这样一个问题:积分的概念可能推广到怎样的间断函数上去?这导致了实变函数论的诞生。 实变函数是建立在集合论的基础之上的。 戴德金用分割的方法来定义实数:把所有有理数的集合分成两个不相交的非空集合A和B,使得A中的每一个数都小于B中的每一个数。戴德金准则说,必定存在一个数,介于这… (阅读全文)