二次方程

字体 -

        我们知道,一次方程最早出现在古西腊数学家丢番图的著作中. 虽然二次方程在丢番图的著作里也谈到, 但是并不是他首先提出来的. 追根溯源, 二次方程的发明权应属于古代中国和古代巴比伦的数学家.

       大约在公元前2000, 巴比伦的算术已经演化成为一种高度发达的用文字叙述的代数学. 他们已经能用配方发来解二次方程.

在古代,我国数学家也已经掌握了二次方程的求解方法. «九章算术», 就有一个相当于x2 + ax = b的二次方程. 但是古人为了避免直接解二次方程,常常把它转换为一次方程的形式.

       印度数学家婆什伽罗的著作中提到一个荷花问题,它是这样叙述的:

湖中浪静出新莲, 五寸婷婷露笑颜.

孰意风狂玉枝倒, 忍看花色品种没波涟.

渔翁秋后寻根源, 根距残花二尺边.

借问群英贤学子, 水深多少在当年?

        其实,我们可以设水深为x,荷花被风吹倒后,花浮在水面上,那么,梗长就应该为 x + 0.5斜在水中,根据勾股定理列方程,x2 + 22 = (x + 0.5)2x = 3.75(). 

现在解二次方程有三种方法: 因式分解法, 配方法, 公式法. 判别式在其中起着重要作用: 因式分解法只有当判别式为完全平方数时才适用; 如果只需要判定二次方程解的个数, 如求二次曲线(, 椭圆, 抛物线, 双曲线)的切线时, 这时只要计算判别式即可.在二次方程的理论中, 一个重要公式是韦达定理, 即根与系数的关系: 对于方程ax2 + bx + c = 0, 它的两根之和为-b/a, 两根之积为c/a. 

以下是几道关于一元二次方程的难题, 你敢试试吗? 

1.  Find all pairs of primes q and r so that 5x2 – qx + r = 0 has distinct rational roots.

 

2.  If x2 + ax + 48 = (x + y)(x + z) and x2 – 8x +c = (x + m)(x + n), where y, z, m, and n are integers between -50 and 50, what is the maximum value of ac?

 

3.  The equations x2 + 5x + 6 = 0 and x2 +5x – 6 = 0 each have integer solutions whereas only one of the equations in the pair x2 + 4x +5 = 0 and x2 +4x – 5 = 0 has integer solutions. (A) Show that if x2 + px + q = 0 and x2 + px – q = 0 both have integer solutions, then it is possible to find integers a and b such that p2 = a2 + b2. (B) Determine q in terms of a and b.

4.  Given that n is an integer, for how many values of n is (2n2 – 10n – 4)/(n2 – 4n + 3) an integer?

 

 

分享博文至:

    目前没有评论

发表评论