数学的精神(ZT)

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       很久以前我就想写一篇这样的文章了。一方面,就我自己观察来看,很多非数 学专业的朋友甚至包括一些数学系的本科生对究竟什么是数学有一种不正确的理解 。这种流行的理解就是,数学是一种为其他科学服务的工具或者说语言。数学的任 务就是把已经列成式子的现实问题算出一个用数字表示的结果而已。我经常在我们 系的Studying Hall被一些外系的学生搞得哭笑不得,在他/她的眼里,我们就是一 群比别人算得快的奇怪动物。然而在我看来,数学无疑是具有自己独立精神的一门 科学,或者说是艺术。但是这一点往往只是在数学的教科书中被泛泛而谈,并不真 正让人信服。另外一个动力就是我想人的思想可以说九成九被他所占有的知识所决 定,读不同的专业的人很可能会有对世界的不同看法。这篇文章肯定是戴着我自己 的眼镜写的,正好衮衮诸公分析一下我的思想的缘起,俾能起到抛砖引玉的作用。        英国大数学家G. Hardy曾经说过[1],对于一个数学家来说,不去证明任何定理而只是泛泛而谈数学实在是令人感到悲哀,因为这种情况多半发生在一个因为年 老(对于数学家来说,四十岁就已经是老人了)而不再具有年轻时的创造性的人身 上。一个拥有创造力并正在改写当代数学的年青人不会屑于去向外行谈数学 我现在还只是一个学生,在数学上和Hardy比只不过是个三岁毛头。按照中国古代 的说法小孩是不必忌讳的,所以就不必为泛泛而谈数学而感到任何不适。再说这个 世界上有许多的外行拥有比我更好的数学功底,还有更多的人其实比我更加具 有学数学的天份,我实在不敢有不屑一顾的傲气。       (一) 数学对历史的两次推动        这篇文章到底要怎么下笔,我想了很久,最后还是认为该从历史谈起。西方有 一句形容古板学究的话,叫做言必称希腊。好吧就让我们从头谈起吧,从这个科学 皇后在希腊当黄毛丫头的场景开始吧。         埃及的亚历山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大学,第一座图 书馆。欧洲的战乱并没有怎么波及到这里,所以这里也成了当时西方世界第一流学 者的天堂。就是在罗马征服埃及以后,学术传统仍然被保留下来。当时的罗马皇帝 在各行省征收苛税,但对其它方面并没有干涉的兴趣。在科学和文学上,征服者是 崇拜希腊人的。罗马士兵在战乱中杀死了阿基米德,当时的统帅Marcellus垂胸顿 足,后悔莫及。后Henllenistic时期学术气氛仍算是宽松,Apollonius系统地研究 了圆锥曲线,托勒密等人对三角学推动很大,而丢番图提出的问题至今仍是纯数学中的难题。          主历三二五年,罗马康斯坦丁大帝接受基督教为国教。那时希腊的最后一块属地埃及也已经陷落三百五十五年了。从这以后曾经备受压迫的基督教(天主教)开始成为压迫异端的急先锋。公元四七六年,西罗马帝国在北方各蛮族的不断打击下毁灭。但是就象入侵并占领了汉族中国的满族人最终被同化一样,强大的基督教战胜了罗马兵团所没有战胜的敌人—-古罗马帝国垮掉了,他们的宗教思想却获得了前所未有的胜利,基督的威势在欧洲的每一个角落建立起来。公元五二九年,在狂热的天主教信徒不断的压力下,雅典学院因转播异端思想被关闭。在此之前亚历山大大学和图书馆已经焚毁,整个古希腊数学时期就此结束了。        从此中世纪的阴影就一直在欧洲笼罩了一千年左右。要等到一五一七年马丁路德在维滕贝格发表反赎罪券的《九十五条论纲》正式向教皇挑战并成为新教创始人后欧洲的宗教垄断才被打破。在路德改宗前欧洲还发生了一些影响世界的大事情。一四九二年一个叫克里斯托弗·哥伦布的意大利人发现了一个他称之为印度的庞大 新世界,以后各国特别是英伦三岛受宗教迫害的人们就找到了一个栖身之地,在这之前在繁荣的意大利已经开始了文艺复兴,各种各样的新思潮和新技术伴随着新的资本都在蠢蠢欲动。        这时候还有一些不是那么为正史所看中的人物在另外一个世界,一个只有靠人类抽象的思辩才能够达到的世界里努力地耕耘着。他们是伽利略,开普勒,哥白尼,帕斯卡,笛卡尔,莱布尼兹,牛顿….. 特别是牛顿和莱布尼兹所发现的微积分,整个地改写了科学史。通过数学工具的极大改进,一系列原本用初等方法无从下 手的问题迎刃而解。一个对社会的影响当然是提高了当时的生产力的需求,从而孕育出最终埋葬神权和君权的资产阶级,另外一个更加直接的影响却是从天文学上来的。这个天文学在中世纪经院哲学里占了相当大的比重,因为按照基督教教义,天体是天使和圣灵运行的轨迹,是完美的。天是圆的,地球在这个圆的最中心。当这些观念被科学一个个地打破以后,教皇的权威,甚至说圣经本身的权威,才真正受到了根本性的冲击。对于牛顿到底有多重要,下面这收诗大概可以反映一下吧:        “Nature and Nature’s laws lay hid in night;          God said, ‘let Newton be,’ and all was light.”[1]        信仰这个东西是非常奇怪的。和狂热的信徒谈天你会发现你几乎无法用另一套信仰来改变他。这不仅仅是几百上千年以前中世纪的事,也不是只有西方民族或者有宗教的地方才有。今天的朝鲜和昨天的民柬在信仰狂热的程度上绝不亚于费迪南德和伊沙贝拉治下的西班牙。毕竟在那里宗教裁判所三个半世纪才烧死了三万两千 人,加上其他刑罚处死和间接死亡的,不过百万之数吧,而他们在亚洲的同仁们却在短短的几十年内就达到了这个目标。其实就在几十年前我们的国家在思想领域又何尝不是如此?七八年邓小平说出了一句实践是检验真理的唯一标准,没过多久全国人民突然就发现了过去的荒谬—-怎么会是那样呢?怎么会那么笨呢?在这 里皇帝的新衣一旦被揭下,谎言就变得一钱不值。今天的西方世界在回想起中世纪的一幕幕场景时恐怕也和我们一样会觉得荒谬大于恐惧吧,为什么当时的人们会为对圣经上某一句话的不同解释如此愤怒,以至于非要把同样是信奉上帝的兄弟姐妹送上火刑架呢?甚至在英国有很长一段时间里竟然要在全国找最美丽的女人来烧死 ,只因为当时那里的神学家确信这些美人是撒旦的化身!        路德和加尔文站起来挑战罗马教皇的权威了,但丁更早些在《神曲》里把教皇判入了地狱,但是人们很快就发现,单凭文学和神学的革命并不能够改变上帝独一无二的地位,人本主义并没有因为《神曲》而成为主流。甚至新教首领加尔文在教皇鞭长莫及的日内瓦还烧死了塞尔维特,而且足足把他烤了两个小时。历史的车轮似乎又在向着循环往复的轨道上滑去。靠神学本身的辩论只能够产生新的神学;靠文学的启蒙可以产生怀疑,却无法最后战胜神学;靠地理上的发现可以解决一时的压迫,但是一个清教徒的天堂依然让人们嗅到了旧世界信仰之争的味道;靠美学 —-·芬奇的名作并没有改变天主教堂的图案,再说这世上还有比那些送上火刑 架的撒旦更美的作品么?        只有真实和时间,才是战胜精神强权的终极力量。西方有一句话,说是(强权)可以短时间欺骗所有人,也可以永远欺骗一些人,但是它不能永远欺骗所有人。象317是个素数这样的真实,就是再坚强的神学信仰也只有在这个事实面前底头。而物质生活的真实呢,一旦产业革命的机器开动起来,田园诗似的贵族们又如何抵 挡呢?打败旧制度的归根到底是靠以微积分为代表的理性击败了神学和以机器为代表的新生产力战胜了贵族势力。如果没有这些,一切革命都将重复类似于中国农民革命的老路。        牛顿和他之后一个世纪的科学家们生活在一个背靠绝对真理挑战世俗神权和政权的伟大时代。在马斯顿荒原,英国革命军战胜了保王党的反动势力;在美洲,八年艰苦的奋战打跑了日不落帝国的总督;在巴黎,第三等级废除了欧洲最顽固的君主制。在那个时期的主流科学家头脑里,一个来源于物质世界,却又比它更加完美 的理性取代了华丽的拉丁文圣经。人作为上帝的影子的日子过去了,任何权势在真理面前必须是平等的。微积分之后的科学文明中心在法国。那时全欧的人文主义旗帜在以狄德罗和达郎贝尔为首的法国百科全书派学者手里。达郎贝尔对发展方程,函数论和代数都有重大贡献,他有一句名言:代数是慷慨的,你从她那里得的总 是比你想要的多,另外他还说过,几何上的真理是物理真理的渐进形式,就是说后者无穷地逼近前者但却永不相交”[2],这大概更加接近现代科学家们的想法吧。        时间就这样一点一点却又是无可抗拒地从中世纪走到了十九世纪末。科学飞速地发展着,正如当时的资本主义一样。神权和君权一点一点地退出了舞台,科学和经济的力量似乎已经取得了全面的胜利。上帝死了,人作为主体出现在那个喧嚣的世界。这是一个最好的时代,这是一个最糟的时代”[3]。世界似乎是永无休止地被开采着,人几乎可以凭机器做到一切想做的事。在自然科学上,一个与这种自大相对应的是在那时,主流物理学家们认为这个世界的规律已经被发现完毕了。一九零零年,英国的开尔文勋爵在皇家学会的新年致辞中自负地宣称,物理学的大厦已经完成,今后物理学家的任务只是把实验做得更精确些(当然那时他并没 有料到,他眼中小小的两朵乌云”——黑体辐射的理论解释和迈克尔逊莫雷实验对以太观念的冲击——引起了现代物理学翻天覆地的变化)。自然的,社会的终极真理似乎就在人们手边。随后文明世界却遭到了空前的打击,那就是两次世界大战。在那些年现实中的文明世界秩序已经在意大利,德国国家社会主义和日本军 国主义的冲击下荡然无存了。  两次世界大战,全人类为此付出了近一亿生命的代价。科学的标志既不是体现在治病救人的青霉素上,也不是体现在纯粹数学和理论物理的完美结合广义相对论上,而是体现在可以一次毁灭一个城市的原子弹上。西方人文主义的传统让位于民族主义和意识形态,二战后东西方两大阵营相互敌对,势不两立。社会主义阵营的 故事我就不说了,美国的麦卡锡先生对美国共产党(毋宁说是同情共产党的左派知识分子)的迫害也足以名垂青史。与中世纪不同的是,现在没有一个极权愚蠢到敢于宣称科学在自己之下了,相反地这个权力为了强调自己的正确性合法性,往往宣称自己是科学的。就算它还要迫害知识分子,也是用别的方法来进行。这种迫 害进行的方法说来也很简单,那就是先宣称自己是科学和正确的化身,然后让每一个公民都相信,不科学正确的人或者思想就必须予以消灭。最后给异端贴标签的工作就比较容易了,各个不同的国家自有不同的方法和习惯。       好吧再让我们回到数学吧,回到这个比现实世界优美的避难所吧。让我们从本世纪的最初看看数学的发展。在这一时期,数学学上出了一件大事。这件事在正史中当然没有推倒柏林墙那么重要,但是其内在的意义,也许将比那个政治事件更能让我们的后代共鸣。         德国数学家希尔伯特于一九零零年在巴黎国际数学家代表大会上作了一次演讲[4]。在演讲中希尔伯特提出了二十三个公开问题,这些问题后来主宰了二十世纪 (至少是前五十年)的数学研究,几乎所有的第一流数学家都在为攻克这些难题而奋斗。在这次著名的演讲中,他还说到:“…..每一个确定的数学问题,….. 论这些问题在我们看来多么难以解决,无论在这些问题面前我们显得多么无能为力,我们仍然坚定地相信,它们的解答一定能够通过有限步纯逻辑推理而得到。这一说法后来被称之为希尔伯特纲领,是人类可以解决一切问题在纯粹思辩领域的缩减版本。这二十三个问题如今大部分已经被解决或者部分解决,剩下未被解决的问 题是如下几个:     第二问题:算数公里体系的相容性;     第六问题:物理公理的数学处理;     第八问题:素数问题;     第十二问题:Abel域上的Kronecker定理的推广。     这里面后两个基本上是独立的技巧性问题,而前两个却事关整个数学物理的基础,进而对整个人类科学和逻辑产生影响。我不是搞物理的,就物理公理的数学化不好作深入的评论,但是这无疑是希尔伯特或者说任何一个相信希尔伯特纲领的科学家的一个野心吧,先在数学领域建立起可以解决一切问题的信心,然后再把物理 数学化,进而推广到一切人类的科学领域。就象运用数学归纳法时我们要证明两件事:对最基本的出发点成立;假设对n成立,证对n+1也成立相仿,第六问题更象是后一步,而第二问题则更象是前一步(的一个必要条件)。如果前一步走不通,后一步也就失去了意义。        为了更好的说明问题,我想我不得不讲点专业化的东西了。大家都知道所有的自然数{12…..}是个无穷集合,而且肯定也知道全体实数,通常记作R的也是个无穷集合。直观告诉我们,虽然都是无穷集合,后者比前者应该要”[5]。数学怪才康托(Cantor)第一次给出了一个严格的证明,这个证明我想在实变函数 的第一章就可以找得到。康托还证明了一个和一般人直观很不一致的结论,那就是一个正方形或者正方体的点数和一条小得可怜的一维线段的点数是一样多的。这样一来一个自然的问题就出来了:有没有一种无穷大,它比自然数(数学上称之为可数集)的无穷大要大,却又比实数(数学上称之为连续统)的无穷大要小?这就是有名的希尔伯特第一问题,连续统假设了。        一九六三年美国的Paul J. Cohen以一个大家都意想不到的方式解决了这个问题:连续统假设和实数公理体系(Zermelo-Fraenkel公里系统)是相互独立的,也就是说,我们既不可以用实数公理来证明它,也不可能证伪!希尔伯特幸运地在这个消息之前很早就去世了,但是不幸地是,在他逝世前十二年(一九三一年),一 个叫哥德尔[6]的年轻人已经彻底击碎了他的理想:在任何一个数学体系里,一定存在既不能够被证明,也不能够被证伪的命题[7]。那一年希尔伯特已年近七旬,而哥德尔二十五岁。在这里理想国里老派学者的纲领被年轻人彻底给击败了。和我们骄傲的宣言正好成对比的是,数学的真理让我们知道我们永恒的无知。         时间似乎又回到了两千年前的古希腊。苏格拉底说:我唯一知道的是我的无知。两千年来我们的智力不断地在发展,我们的科学不断地在完善,我们比起任何一个时代都更有资格判断对错。我们甚至想要运用逻辑去证明一切事物都可以贴上”“的标签。然后达到一个正确的天堂。而这时数学又一次改变了人类 的哲学,当人们盲目地崇拜上帝时她用锋利的矛挑战神性,而当人们把正确当做新的偶像来崇拜时,又是她告诉人们,人类任何对真理的认识总有不足,地上不仅仅没有神的天国,也没有绝对真理的标准。只有对不同的哪怕是错误的思想的包容并蓄,只有放下打击错误的执着,凭着对异端的宽容,我们才能真正接近真 理。 ********* [1] 该诗为英国诗人亚历山大·普伯(Alexander Pope)所作。 [2] An Introduction to the History of Mathematics, Howard Eves [3] 《双城记》,狄更斯 [4] 《数学问题》,大卫·希尔伯特 [5] 这里的大小关系是按照基数等价类的方式来定义的。集合A和集合B等价指存在 一个映射f:A–>B, f是一一对应。而A“大于”B则是定义为存在AB的满射,但A B间不存在一一对应。 [6] 哥德尔的英文是Kurt Godel, 但是要在中间的“o”上加两点。 [7] 这个结论也许太过于抽象了。Alan Turing(图灵)后来把这个结论用到计算 数学上去,得到如下的结论:存在数和函数不能够被任何logical machine(图灵 机?)所计算。 (二)  作为艺术的数学        如果有同学认真看了我写的序言,会看到我现在是M.A. Ph.D. 资格候选人。这个M.A. 是拉丁文magister artium的缩写,而Ph.D.则是拉丁文philosophiae doctor的缩写,这两个头衔直接翻译过来就是艺术硕士,哲学博士资格候选人,看起来似乎和数学一点关系也没有。其实还不光是数学,在很多属于理科范畴的专业都既有M.A.,也有M.S.(理学硕士)。而在几乎所有的学科,最高学位都是Ph.D.(另外还有象医学博士M.D., 法学博士J.D.等,但从学术的角度讲都比Ph.D.要稍差一点)。现在在西方这也只是一种从中世纪流传下来的习惯,不过在我看来,它还保留有一点象征性的意义—-Ph.D:无论什么学科到理论的顶点都成为哲学;M.A.:自然科学也可以是艺术的一种。        我相信大家都曾经听说过数学的美这个概念。这个概念在课堂教学中虽然从来不占主要地位,却仍然不断地为数学老师们所叙述。不过就我自己的经验言,从小学到大学,绝大部分人并不认为这种美比神话故事真实多少。确实,当你面对成千上万道刁钻古怪的习题,当你必须记住一大堆公式,计算某个数值精确到小数 点后多少多少位,或者解一个要把你的草稿纸横过来放才能写得下的方程组的时候,如果听到下面这一段话,一定会觉得离自己太遥远了:         “数学,如果正确地看它,则具有…..至高无上的美—-正象雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神,一种精神上的亢奋,一种觉得高于人的意识—-这些是至善至美的标准,能够在诗里得到,也能够在数学里得到。”[1]   正如同欣赏一首用英语写就的英文诗我们必须掌握这一语言一样,数学的公式和符号,诸公理,定理体系就是这种我们必须要掌握的语言。另一方面,这些语言本身并不具有美的意义,是它们的组合构成了美。诗有诗的组合法则,散文有散文的,尽管它们用的可以是一种语言。这种法则是在语言背后的深层结构,通过这种 法则一个文学作品可以表达远远超过自面意义的内涵,从而唤起人们的美感。我们要看懂一首象《荒原》这种技巧复杂的现代诗,不仅仅要懂英文或者看译文,弄懂它的字面意义,还要通过学习掌握必要的文学欣赏能力。现在对于一个理工科的大学生而言,基本的几何,代数和分析的工具都可说已经了解了,要看懂一个高 等数学定理证明的每个步骤恐怕都不难,真正极为欠缺的是第二种能力,也就是理解并领会从左一步,右一步的推导过程中透露出来的内在规范的本领。   当今数学界主流认为,数学是研究模式和结构的。模式的一个简单例子就是一元二次方程 ax^2+bx+c=0,它的解可以借一个带平方根的式子表示出来。这个方程可以从许许多多完全不同的现实例子中抽象而来,但是其内在的数学性质却是一致的。在这个模式中,我们注意到abc任意的数,这个简单的事实却隐藏 着一个深刻的思想:我们是把一个涉及无限的命题解所有一元二次方程用给定的条件(abc)和结论(方程的解)之间的关系代替了无穷个具体的数值。现实问题无穷无尽,甚至每一个具体的问题比如说扔块石头,看看它落到什么地方也都具有无限精细的内部结构。可是对于人类来说,我们的认识是有限的,我们处理 这些信息的能力就更加有限:我们只能够通过有限步逻辑推理(这是人类唯一能够做到的思维)去解决问题。我们是在无限中认识有限,又通过模式去把握无限。在这里重要的不是某个具体的结论,而是从模式中体现出来的可以处理任意问题的方法。这个今天看起来理所当然的方法却经历了漫长的历史才被人类认识到—-从古巴比伦和古埃及发掘出来的资料显示[2],最早的数学只有数与数之间的对应,没有一般化的公式。按照约简的美学观点,这也是第一个数学的美学判定法则,今天抽象的二次方程求根公式就比古代一堆(启发性的)具体答案要美。再进一步抽象,人们就不仅仅满足于解二次方程,而是要解n次方程,相应的模式 就变成了带有n个常数的多项式方程。是不是有一种公式,能够把这些方程的解方便地表达出来?如果没有,那么我们知道多少?对于不同的方程,我们可以通过方程的次数n来进行分类,这个次数就是类型的一种指标,不同的类型可以有不同的处理方法—-这种分类的思想,也是现代数学的一个重要特征,以至于布尔巴基学派[3]甚至认为数学就是一个(脱离主体存在的)真理和方法的仓库,数学家要做的全部工作,就是把这些精美的货物分门别类。   n次代数方程求解实在不是个容易的问题。事实上在将近两千年或者更长的时间里,代数学的主要任务就是对这个问题给出尽可能多的答案。继二次方程以后,数学家们又给出了三次方程的求根公式。这个公式里面含有平方根和立方根,而我们知道,为了让平方根有意义,就必须让根式里面的数大于等于零。在二次方 程的情况下如果根式没有意义就一定不会有实数解,而在三次方程里却可能会出现既约情况,也就是说在求根公式里出现了没有意义的根式,但是如果我们不管这些,带着根号负一进行计算,那么有时这些不合理的根式会互相抵消而得到实数解。把它们带回原方程,我们可以检验它们的确是解。现在同学们都知道,通过引入虚数,那些没有意义的根式就根本不成其为一个问题。可是在历史上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为数的鬼魂,一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几何解释虚数成功后才慢慢平静下来。对实用主义者而言,虚数当然是一个计算的工具,只要它有用就行了,但对于严肃的数学家来说却并非如此。高斯就曾经说过,关键不在于应用,而在于如果歧视这些虚量,整个分析学就会失去大量的美和灵活性。为什么认为歧视虚数就不美呢?我想这是由于数学中第二个关于美的法则在起作用:对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实,只是分别属于一个统一的复平面的横轴和竖轴时,所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了一种对称性。而任何人为的歧视都将打破这种对称。     自十六世纪以来,人们就开始研究五次或者更高次的代数方程的求解问题,这个问题后来被证明是不可能的。有一个证明(按照年代来说是第三个证明)是法国数学家迦罗华[4]在一种更一般的理论框架中给出的。当时他的理论是如此之新颖和富有创意,以至于直到他死后多年人们才克服了很大的困难弄懂。迦罗华注意到了对于一个已知方程,它的根的全部置换构成一个现在叫做迦罗华群的集合。而方程本身的能不能通过根式求解,则和这个集合的性质有关。用现在的语言来讲,迦罗华群必须是一个可解群,解才可以写为根式。当方程的次数n=1,2,3,4时相应的迦罗华群是可解群,而当n大于等于5时不是。这套理论被认为是整个数学中最优美的篇章之一,那么它美在什么地方?第一它比起以前的证明都要简洁,第二它是通过问题模式中的对称性来解决问题的,最后按照波莱尔的说法,是因为它是以新的概念建筑起来的新结构下提出的原理,显示出巨大的独创性。这里我们得到一个新的美学概念:独创性。独创性和天才,灵气是分不开的。大家在听肖邦的音乐,看凡高的画时无疑可以感觉到和一般的音乐,一般的绘画很不一样。这种不一样所附加的美感,我想就是来自独创性。独创性来源于想象力和直觉,而这两点可以说是所有科学的共同追求目标。毕竟,如果仅仅是记熟了公式,方法,能够熟练地从事某种工作那只能被称为巧匠而不是大师. 就象我在最开头所说的,数学不是讨论具体问题,而是去研究相应的模式。模式有大有小,2x^2+1x-1=0 的解是X=1/2或者说-1,这个具体的结论本身其实也是一个模式。这不仅仅是因为x可以指代许多具体的事物,还因为任何数,包括 21-1,就已经不是两块橡皮,一根笔,欠一块钱这些具体的东西了。那么这个本身是什么?以下的一段推理是逻辑主义对数的解释:        一切均不存在的状态叫做空集ΦΦ的所有子集构成一个新的集合,叫做Φ的幂集P{Φ}。而P{Φ}的幂集又是另外一个集合,记为P^2{Φ}。通过一些简单的运算,我们可以发现P^n{Φ}的基数是2^n,而通过这些集合的并我们可以得到这些基数到正整数的一个满射。在所有集合(及其映射)构成的范畴里,用基数或者说映 射的一一对应关系做一个等价类,把这些等价类就叫做自然数,那么我们就从无到有,运用最简单的集合论或者说是逻辑(集合论可以和数理逻辑有严格的一一对应,一个例子就是交集就相当于逻辑中的)就可以得到整个(包括零的)正整数。然后就可以通过不相交集合的并来定义加法,这个拥有加法并且满足一些简单性质的集合叫做半群,通过对加法半群的求逆(即减法)完备化产生出所有整数。通过加法又可以定义乘法除法,通过对除法的完备化产生整个有理数域,而对有理数进行戴德金分割或者对有理数收敛数列进行分类我们又得到了整个实数。有了加法(减法)和乘法我们可以定义多项式,然后为了对求根运算封闭,我们还得把数域扩张到全体复数。其中最典型的一个元素 i 的定义就是一个满足 i^2=-1东西        这一段看似非常不自然而又冗长的推理告诉我们的是一个这样的事实,即对于一个数学家来说,重要的不是他的研究对象的具体化,而是它们的性质,就连最基本的研究对象:数本身,也只是某种性质的形象化说法而已。这种思维就是抽象思维,通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质,去除(或者综合)次要的性质 ,用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。爱因斯坦曾经说过一句话,大意是科学的发展就是不断地战胜二十岁以前人所有的常识。用在数学上,也十分贴切。因为抽象常常就意味着对某种公认的常识的挑战。在每一次的抽象过程中哪怕对于当时最优秀的数学家来说都是一种冒险的尝试,连象高斯这样的大家,在生前都不愿意发表他关于非欧几何的开创性的文章。一旦某个抽象过程被确认下来,数学也就随之更加完美。因而在这里,作为纯粹思维范畴的抽象性也是一种美学标准,而这个标准,从某种程度上讲是所有在数学中起作用的美学法则中最重要的一个,作为艺术的数学,也正是一种抽象的艺术。对了谈到抽象,我又想起了现代的抽象画和实验性的文学创作。拿数学和它们对比十分有意思,画家进行色彩和形态的组合,文学家把一个个的字写在一块,而我们则把一定的类型通过逻辑串起来。绘画和文学最初是对客观现实的模拟,古典数学也是;然而通过长期的模拟过程,人们发现了一种超越实在的语言,通过这种语言可以直接达到美。毕竟,艺术家们 创造的全部艺术都必须通过人的审美来体现,从这个意义上讲他们创造的真正内容不是油画,诗歌,而是人的沉思,感动和激情。只有这样看,我们才能够理解非常不相似的文学和绘画,音乐竟然可以拥有相似的性质,从而是统一的艺术的不同分支。而巴罗克,洛可可,古典主义,浪漫主义,印象派,……在几乎每一个分支里 都有代表就一点都不奇怪了。        形式是为内容服务的,而不是反过来,所以经过抽象后色彩和文字的感性就远比它所附着的形式—-绘画的主题和小说的情节更为重要。在数学上,这一步走得更加极端—-一旦某个性质被提出来,它的构造就完全可以被忘记。拿向量的长度这个概念来说,它无疑具有实在的结构和意义。但是一旦我们意识到它满足三到四个代数性质[5],并且我们在很多用到长度的定理证明中也只要这些性质时,它的实在性就完全被抛开,并推广到广泛得多的一大类空间中去,在那里,一个向量往往是一个函数。王浩[6]说,数学是一种类纯净美true beauty),意思大概就是指它可以不附加任何不必要的(为现实服务的)修饰。这一境界对于任何一门艺术都非常不容易达到,而数学在这方面令人骄傲地走在了所有其它艺术形式的前面。作为一门最古老的科学,数学的分支之间的距离越来越大。同样是搞数学,搞 分析的常常完全看不懂代数方向的论文;同是搞分析,搞微分方程的和搞多复变的也没有什么共同语言;同是搞微分方程,常微分方程和偏微分方程也天差地远;甚至同属偏微分方程,椭圆型方程用的工具和抛物型又大不一样。数学这棵大树,分支看来是越来越往互不相干的方向在发展了。然而这一看似危险的分裂主义倾向却从来没有真正动摇数学作为一个思想体系的统一性。哈尔莫斯[7]是这样说的:数学如今生气勃勃,分支如此众多,各分支又如此广博,基本上无人能全部了解。 ……但这不要紧,无论演讲是关于无界算子,交换群还是可平行曲面,相距很远的数学各部分之间的相互影响常常会出现。一个部分的概念,方法常常会对所有其他部分有启示。这一体系作为一个整体的统一性令人惊叹。的确,在历史上曾经有过几何和代数完全脱节的时期,两个分支各自过度发展,变得无聊,极端复杂 。比方说我们大家都不会对平面几何的怪题感到陌生,而对于古典代数当时情况也好不了多少。设想一下,在中世纪欧洲的某一个地方,一位运气不好的皇帝和他的朝臣们在一起,听一位有学问的意大利人讲解一个三次方程的解法。可怜的人们 —–那位可爱的意大利人整整花了一个下午啊!如果没有魔法吸引住他们的注意 力,他们肯定要打哈欠的![8]          幸运的是,笛卡尔坐标系的建立开创了几何代数化的历程。而这种联合无疑为人们认识什么是古典几何和代数的精华提供了一个标准,使得人们可以把那些人为过度发展的分支抛开,集中精力研究那些更加深刻的问题。有了解析几何,才有了微积分和现代数学分析。再往后到了十九世纪末,当数学又一次陷于过分分叉和复 杂化时,新的突破又出现了:人们发现定义连续性”“极限只要有开集就行了!再后来人们更以此为基础发现了一种描述空间在连续变形下不变性质的群,从而把现代代数和空间的几何性质联系起来。另外一个方面,垂直线性距离的概念,完全可以脱离有限维的欧氏空间,搬到类似全体连续函数这样的函数集合上去,并且在很大一类空间上可以建立坐标系,从而应用类似解析几何的方法来成批地研究函数,泛函数和算子。这两个不同的抽象方向就导致了拓扑和泛函分析的创立,体现了代数,几何和分析这三个高度分化的学科之间内在的统一性。而这种奇妙的统一性,既体现了数学的生命力,更反映出了造物的和谐。和谐是一个美学概念我想就不用我多讲了。这个概念恐怕是最神秘的一个,我们可以把握哪怕是最艰深的抽象,我们可以给所有的对称性分们别类,我们更能够(几乎是本能地)知道简化的重要性,然而没有一次统一的和谐不是偶然出现的,我们只能凭着信仰来感受这种和谐。这种科学的信仰其实和无条件的宗教信仰并没有本质的区别,在约翰福音中耶稣说,我就是道路,真理,生命,若不籍着我,没有人能到父那里去。按照我们数学的惯例,这句话也可以理解为真理和生命就是基督的一种比较抽象的说法。G.  Hardy就曾经说过,我相信,数学实体是在我们之外而存在的,我们的职能就是去发现它,观察它,我们证明的定理,我们夸张地说成是我们的创造的那些定理,不过是我们观察的记录而已。”[9] 对于一个数学家,他一生都在创造方法和手段,但是没有一种手段本身可以保证他明天能够发现什么,或者发现的都是有价值的。他最后的力量依然是存在真理 世界和通向真理的道路的强烈信心。         我的俄国师兄曾经和我聊天,他那时正在为他的学生不会也不愿算积分题而烦恼。不过他的抱怨是暂时的,因为他自己就认为将来这种技巧会随着计算器的发展而变得越来越不重要。我们做四则运算肯定不如大部分中学生快,但那不要紧,我们的任务不是算加减乘除,我们是要去发现和创新。甚至当有一天机器也拥有了发现和创新的本领时(这一点我的师兄深信不疑),我们也不会饿死,因为我们还可以作为艺术家而活下去。甚至于有些数学家象G. Hardy干脆就认为如果说数学有什么存在的理由的话,那就只是作为艺术而存在[10]。当我们意识到数学中的艺术性不仅仅是一种外带的附加的属性,而且是人类思考一个最根本的价值时,也许就会象我一样认为,当爱因斯坦说他不相信上帝会掷色子时,他的信心与其说是某种客观实践或者是逻辑推理,不如说是对他的上帝—-自然真理之完美的深信不疑。     说明: 本文参照波莱尔的演讲《数学:艺术与科学》一文写出。所有该文的引 用不另行注出。 [1] 引自克莱因的《数学与文化—-是与非的观念》一书,原文引自伯特兰· 罗素。     [2] 参看《An Introduction to the History of mathematics》,Howard Eves [3] 布尔巴基(Bourbaki)学派:一九三零年左右一批数学家(主要是法国人)试 图写一本包罗万有的数学全集,后来对整个当代数学的发展起到了非常大的影响。 [4] 参见附录《迦罗华小传》。 [5] 非负性,对称性,三角不等式和一个等式:|V|=0 ==> V=0 [6] 王浩(H. Wang)美国华裔数学家。 [7] P.R. 哈尔莫斯(Halmos),美国数学家。后面的引文出自其有名的文章《应 用数学是坏数学》。 [8] 引自A.N. 怀特海(Whitehead),《数学与善》。 [9] G. Hardy, A Mathematician’s Apology》。 [10]同上。 

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    17 条评论

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