数数的基本原理与方法

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什么是数数?

每当我说“今天我们要学习如何数数”时,总会有学生脱口而出: 1 2 3 4 。。。。 不错,这是数数,是幼儿园孩子的数数, 仅仅是开始而已。

远古的人类发明数字就是为了计数,以表明某一类物体的多寡。 1是单,2是双,3就是多;数数就是要搞清物体的数量,是最简单也是最复杂的数学。

说它简单,是因为谁都明白,你总可以逐个列举出来(如果有足购的时间)。曾听说有个学生在一次数学竞赛中,企图列出几千种可能; 也有一个学生夸耀说他能在一页纸上列出5千种可能,从而找出正确答案,但被我制止了。

说它复杂,是因为你总会数错。 即使漏掉一个或数重一个,你都错了,尽管你的答案很接近。就像我这个教了几十年数学的人,有时也不得不用几种不同的方法去数,才能确保答案正确。

数数需要缜密的心思,还需要方法。 加、减、乘、除四种基本原理仅是开头, 集合论是系统化计数的工具,映射法要会建立一一对应关系,生成函数法要用到无穷级数,递归法上升到了逻辑的高度。

数数最重要的是思考。看别人数数很简单,老师一讲也很明白,可轮到自己时却不知如何下手。聪明,说白了就是知道从不同的方法和角度来思考问题。 举个例子,20支球队举行淘汰赛(输者出局),问要产生冠军队,需要举行多少场比赛? 多数人会按照每轮淘汰几支球队,下一轮再举行多少场比赛,然后总数相加得出答案。 可如果从淘汰的队数来考虑,答案就在眼前: 每场比赛淘汰一个队,要产生冠军即是要淘汰19个队,自然要举行19场比赛!201,一年级学生都会。

加拿大学生是不会数数的:就连最基本的乘法原理(分步计数原理)都得在12年级的《DATA MANAGEMENT》里才教,我们还能期望学生做什么? 当听到一个六年级学生说起老师教他们用乘法去计数时,我吃惊不小; 当看到某私校教三年级学生用阶乘去计数时, 又觉得不可思议:他们能理解吗? 学习数数,是要循序渐进的。不能什么都不教,也不能一开始就跳得老高。

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