第一次飞跃:从正数到负数

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负数最早出现在中国汉代(202BC–AD220)的《九章算术》中,那里用红棍表示正的系数,(收入),用黑棍表示负的系数(欠账)(与现在的会计记法正相反)。那时的中国人就能解答包含负数的方程组。

负数可以理解为相反方向的数,如向上为正,向下为负;向右为正,向左为负;逆时针为正角,顺时针为负;或者说,正是肯定,负是否定,这样“负负得正”就不难理解。

正、负数可以用数轴直观地表示,也可以说负数是比0小的数,或者是正数的相反数。

负数还是较小数减去较大数的结果。

负整数的运算规则可以用数轴来演示。加上一个正数就向右走相应长度,加上一个负数就向左走;减法呢,作为加法的逆运算,操作也正相反:减去一个正数往左走,减去一个负数往右走。 对于乘法要麻烦些。负数乘以一个正数,可以用重复相加来说明;而要演示负数乘以负数,先得解释乘以负1得到相反数,再用结合律得出“负负得正”的结论。除法可以作为乘法的逆运算来说明。

有了负整数,自然就有了负分数和负小数。结合负数与分数的运算法则,这些数的运算不难实现。负数与幂相结合,就有了负整数幂,科学记数法可以表示很小的数了。

在公元三世纪,丢番图还把方程的负数解称为谎谬的,可恰恰是解方程,如果没有负数,方程的解就无法表示;可以说没有负数,就没有代数。现在, 爱面子的人会说,“业绩负增长3%”,却不好意思说减少3%。尽管人们一开始不愿意接受负数,等到更复杂的数虚数出现时,也只好免为其难了。

但是,从正数到负数,却是数学认识上的第一次飞跃。有了负数,才有比较;有了正与负的对立,我们才能从反面去思考问题。在现代数学里,如果把那个负号删除,那数学也就不存在了。

学生们要跨过这一飞跃,会有相当长的一段痛苦时间。学校里通常是7年级教负数,但是,到了8年级,仍然有不少学生感到糊涂,故此加拿大的九年级一开学,学的还是整数与分数的运算。如果总是用钱数的借贷来做负数的加减法,就算学到老也学不会;数学讲的是运算规则;掌握了规则,做点练习,两周就学会了。

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