不等式

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现实中,两个物体完全相同的概率有多大?两个量之间相等的可能性有多大?量子力学的测不准原理告诉我们,粒子的位置的不确定性与冲量的不确定性之积大于一个常数。对所有事物来说,相等都是偶然的,不相等才是常见的。

因此,我们必须学习不等式。

不等式表示数量之间的不等关系,有>,<,>=,<=;通常用来表示一个量的范围 或估计。

不等式的解法与方程类似,可以移项,可以两边同时乘除一个正数;但在乘除一个负数时,不等式需要反转。两边平方或进行其它运算时,必须得先确定正负才行。

不等式中也有公式。最著名的是平均值不等式(包括算术平均、几何平均、调和平均、平方平均),Cauchy不等式, Holder不等式, Jensen不等式, 排序不等式,等等。

在国际奥林匹克数学竞赛中,解不等式被认为是太简单的问题,早期有现在根本就不见了;每年都有的是多元不等式的证明。这种题从已知的不等式出发,经过很多变换才能得出答案。

在高等数学中,余项的估计、收敛性的判定都离不开不等式;在近似计算与统计分析中,误差估计就是不等式。

 

与不等式紧密相关的是一个量的最大/最小值。这在实际问题中,应用很广;比如,要造一个容积一定的圆柱形罐头,应当怎样确定底半径和高,才能使表面积最小?在微积分中,这种问题是很简单的练习。记得有一次在高数期末考试时,我绞尽脑汁,想出了一道要用到偏导数来求的极值问题;结果呢,一个学生用AM-GM不等式,一步就算出来了。

有许多极值问题,用微分的工具是解不出的,比如Fermat点问题;原因是,那导数方程太复杂,无法用代数的办法求解;而且,微分只能求出局部极值。在奥数的多元极值问题中,都需要构造巧妙的解法;你即使用微积分的办法解出了,也得不到满分。

 

在加拿大的学校里,什么时候学到不等式呢?在十年级时,求二次函数的顶点可用配方法;可是,许多老师不喜欢这种方法,就只教学生死背公式。殊不知,有了AM-GM不等式,答案一眼就能看出。然后是在十二年级时,要学函数了,才教一元一次不等式的解法。如果按部就班地跟学校走,想在奥数中得名次,无异于做梦。

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