2013年10月13日 的存档信息

数学命题与逻辑

逻辑讲的是一个“理”:什么样的道理是可以接受的?这因人而异;我们并没有什么放之世界而皆准的真理。退而求其次:给定一条真理,什么样的推论是合理的?我们奉行的是三段论推理模式。 命题就是包含某种信息的一句话(不算疑问句和祈使句),只要能判定真假即可;一个命题通常分为条件与结论两个部分。在给定一个命题为真的前提下,当其条件满足时,结论必然成立:此即三段论。… (阅读全文)

向量

数学中,只有大小的量叫做标量(Scalar),既有大小又有方向的量叫做向量或矢量(Vector)。向量又分为自由向量与刚体向量;自由向量可以平行移动,只要大小相等方向相同就被认为是相等的,因此与起始位置无关。 物理中的向量(如力、位移、速度、加速度、电/磁场强度等)实为 刚体向量,但运算时,通常按自由向量进行。 向量可以用有向线段表示,其长度为向量的大小,方向在二… (阅读全文)

复数

复数的最早出现是在1545年,Cardano把方程x(10 – x) = 40 的解写成 x = 5 ± sqrt(-15)。 由于负数没有平方根,他对此类新数进行了研究。 1572年,Bombelli 研究了这些数的运算规则;1637年, Descartes 使用了“虚数”与“实数”的名称; 后来, Lebniz, Euler, 及De moivre研究了虚数与三角函数的关系。是Euler 第一个用符号i 来表示– 1的平方根(虚数单位)。 1797年,挪威数学家… (阅读全文)

数列

在小学里,学生们就被给予了一列物品或数字,要求找出排列的规律。这类练习不用计算,显得较为有趣,目的在于培养他们的观察、联想能力。 对于一系列的图形,它们都有些什么变化规律呢?在平移、反转、旋转、伸缩?还是在分裂、合并?是周期性地重复,还是在不断地增减?这让我想起分形几何,一个简单的图形可以变化万千,形成许多美妙的图案。 对于数字序列,规律就更多了。… (阅读全文)

初等函数

坐标几何做到了用代数的方法做几何,但是,实现代数与几何的统一,却是函数这个概念。 函数指的是一个量(因变量)与其它一个或多个量(自变量)的依赖关系。当只有一个自变量时,称为一元函数;多个自变量时,就叫多元函数。如果自变量仅取正整数值,就叫离散函数或者数列;当自变量可取复数值时,就是复变(量的)函数。对于同一组自变量,如果因变量可以取不止一个值,那就… (阅读全文)

几何图形的性质与论证

图形的性质包括角与边的相互关系,关于点/线/面的对称性,图形之间的相交、相切、全等与相似,拓扑性质如凸包,图形的分类与计数等。揭示图形的性质,可以从量的计算来进行,也可以是纯粹的公理化演绎。 演绎是从已有的结论出发,推出新的结论。在欧几里德的几何原本的第一卷中,他从23个定义、5个公设、5个关于量的比较原则出发,直接推出了48个命题;而后人推出的结论更是数… (阅读全文)

平面坐标几何

1837年,笛卡尔(Descartes)发表了一个长篇哲学论著,其中包含了解析几何的数学理论。其实,在17世纪前半叶,有的数学家已经接近了解析几何的观念,但并未给予足够的重视。笛卡尔创造了一种方法,可以用来解决所有的几何问题,这就是坐标方法。 所谓平面上的点的坐标,就是从这个点到两条给定的、互相垂直的直线的带符号距离。这样,平面上的点就对应了一个有序实数对(横坐… (阅读全文)