初等函数

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坐标几何做到了用代数的方法做几何,但是,实现代数与几何的统一,却是函数这个概念。

函数指的是一个量(因变量)与其它一个或多个量(自变量)的依赖关系。当只有一个自变量时,称为一元函数;多个自变量时,就叫多元函数。如果自变量仅取正整数值,就叫离散函数或者数列;当自变量可取复数值时,就是复变(量的)函数。对于同一组自变量,如果因变量可以取不止一个值,那就叫多值函数;不过在中学里学的都是一元单值函数。

函数的表示形式有三种:关系对(组)的集合、图形、公式表达式。集合或映射的记号便于说明函数的概念,图形(只适合一元和二元函数)给予其增减、凹凸等性质一个直观的表示,公式表达形式用得最普遍,适合于精确计算。

基本初等函数只有六类:常数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数。

 

函数的一般运算有五种:加、减、乘、除及复合;而各种不同的函数,都有自己的特殊运算规则。多项式的除法就有三种方法去实现;对数函数的运算法则有四个;幂的运算规则有五条;三角函数的恒等式呢,数之不尽。

经过有限次运算所得的函数称为初等函数;无限次运算就是微积分了。构造新的函数还可以用拼接的办法,即构成分段函数。

我常常纳闷:难道就只有这么些函数吗?世界上的量有多少个?相互关系有多少种?数之不尽;六个函数就够了?我不信,但是却没能构造出新的函数。

 

函数的初等性质有:单调性、对称性、周期性、有界性;研究的方法也很初等:代数方法而已。只要再多问一个为什么,那就涉及极限的概念了,因为只有极限,才能把我们从有限的现实世界带入无穷的境界;有了无穷小分析,精确地定量才成了可能。

 

比代数方程更进一步,在函数论中,函数方程是一个重要且困难的课题。在初等函数中,注重于函数的抽象运算;解的方法有:特殊值法、换元法、递归法等。奥数中的函数方程问题,需要调动所有的计算技能才能解除部分答案。更难一点的,不用说,又得微分了。

 

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