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复数

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复数的最早出现是在1545年,Cardano把方程x(10 x) = 40 的解写成 x = 5 ± sqrt(-15) 由于负数没有平方根,他对此类新数进行了研究。 1572年,Bombelli 研究了这些数的运算规则;1637, Descartes 使用了“虚数”与“实数”的名称; 后来, Lebniz, Euler, De moivre研究了虚数与三角函数的关系。是Euler 第一个用符号i 来表示– 1的平方根(虚数单位)。

1797,挪威数学家Wessel引进了实数轴与虚数轴,建立了平行四边形法则; 1806, Argand 把这种新数表示成三角形式r(cosθ + isinθ),并与线段的旋转联系了起来。在1799, Gauss证明代数基本定理时,第一个使用了“复数”这一术语。 1837, 爱尔兰数学家Hamilton使用有序对 (a, b)去定义复数,并确立了复数的运算规则。

纵观复数的发展,历时近三百年,是许多大数学家们的成就;现在,中学生(加拿大IBAP以外的学生不算)就可以掌握其运算规则。

复数的加法,与物理学中的向量加法一致(有不有一种单一的数的运算,可以表示向量的点积和叉积呢?);几何中的距离计算,可以化为复数的模。复系数多项式的根都是复数,因此复数对代数运算是完备的。多项式的性质,在被当作复变函数时,才可以完全弄清。有理函数,在进行部分分式分解后,其运算(求导、积分、展开为幂级数等)变得十分简单。幂级数的收敛半径,在把它当作复函数时,才显示了它与极点的关系。

复数的三角形式具有神奇的作用:它包含了正、余弦函数的和角公式,使得复数的乘幂运算变成了角度相乘。欧拉公式把三角函数与指数函数联系起来,正、余弦的运算(求和、求导、积分等)化为指数函数的运算;由此。我们还能看出双曲函数与三角函数的关系。在平面上,任何与旋转有关的运动方程,都可以cis函数的乘法来实现。在数论中,同余式的解数、不定方程的解数,都可以通过欧拉公式化为三角和。

还有什么数能有如此广大的神通?

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    14 条评论

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