平面坐标几何

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1837年,笛卡尔(Descartes)发表了一个长篇哲学论著,其中包含了解析几何的数学理论。其实,在17世纪前半叶,有的数学家已经接近了解析几何的观念,但并未给予足够的重视。笛卡尔创造了一种方法,可以用来解决所有的几何问题,这就是坐标方法。

所谓平面上的点的坐标,就是从这个点到两条给定的、互相垂直的直线的带符号距离。这样,平面上的点就对应了一个有序实数对(横坐标,纵坐标);反过来,任何一个有序实数对也对应平面上的一个点。一条曲线的方程就是它上面所有的点的坐标所满足的一个关系式,并且满足关系式的点一定在曲线上。这样,我们就可以用代数的方法来研究几何对象。

平面上最简单的图形是直线。它的方程是个一次方程,其中包含了斜率与倾角的概念;讨论直线的相互关系时,会用到二元一次方程组、正切的差角公式等。

其次较普遍的是圆锥曲线或二次曲线。它们可以用圆锥与平面的交线来定义,也可以用焦点、准线,从轨迹的角度来定义。其方程是二次方程,学习之前必须先学二次方程的解法。

椭圆、双曲线、抛物线具有奇妙的反射性质,在光学和声学中有重要应用;材料力学上,平面薄板上各条线关于一个点的惯性矩形成以个椭圆,这与材料的抗弯曲强度密切相关;天文学上,行星的运行轨道是椭圆,而恒星在一个焦点上,并且,焦半径在同样的时间内扫过同样的面积。

还有数不清的美妙曲线,如心形线、旋轮线、摆线、玫瑰线、笛卡尔叶形线,等等(你也画一条漂亮的曲线,并自己命名),它们的方程可能要用到极坐标、参数方程,甚至复数才能写出。

在写轨迹的方程时,曲线束的概念可能很方便。 给定两条曲线F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 ,那么经过其所有交点的曲线方程可以写为sF(x, y) + tG(x, y) = 0, 这里的st是参数;通过适当选取参数的值,就可以得到所需要的方程。比如要写出通过两个圆的交点的直线方程,可以把两个方程组合起来,选取参数以消掉二次项,即可得直线方程。

在解析几何中,我们总有另一件事要做:给定一个方程,要去画它的图形。一次方程的图形简单,那是一条直线;对于一个一般的二元二次方程,要先进行坐标轴的平移与旋转这种保持矩离和角度不变的变换,化成所谓的标准形;在按照不变量的性质,可以分为椭圆、双曲线、抛物线或退化的直线或虚拟曲线等。对于三次或更高次的曲线,Newton发明了一种利用次数来画多边形、进而画出近似图形的方法;更一般的,只有求助于微分了,那是微分几何学的任务。

在数学竞赛中,坐标方法是解决几何问题的最后一个选择:只有纯粹的欧氏几何方法、三角函数的方法等不起作用时,我们才用坐标;因为,方程易列却难解。

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    72 条评论

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