2013年10月14日 的存档信息

线性代数

线性代数的第一个问题是解多元一次方程组,一般解法是Gauss消元法,即通过以下三种同解变换把方程组变为阶梯形: 一个方程乘以一个非零数,加到另一个方程; 一个方程的两边同除以一个非零数; 交换两个方程的位置。 这些运算实际上只是对系数进行,与变量无关。于是,人们只把系数及右边的常数项排成一个数阵,就得到了一个矩阵;解方程组就等同于对此矩阵进行行变换。   矩… (阅读全文)

抽象代数

抽象代数研究运算的性质、代数系统之间的关系以及分类。究竟有多少种运算?那要看运算的对象。我们已经有了实数、复数、四元数、向量、矩阵、集合、范畴,也许还会有别的新发现;而运算可以是完全抽象的,你只要能把一个对象变成另外一个对象,或是把两个对象捏成一个就行。 一个代数系统是一个具有一个或多个运算的集合S。一个m元运算指的是,对于集合S中的任意m个元素,按照… (阅读全文)

数理统计

数理统计研究样本的分布、参数估计,对某项假设进行检验,还要做预测。 1.抽样分布 研究对象的全部元素所组成的集合称为母体或总体。母体中一定数量的元素所组成的有序集合(X1,X2,。。。, Xn)称为一个子样,子样的观察值通常用小写字母表示。子样的可测函数,如果不含任何未知参数,就称为一个统计量。常用的统计量有:平均值、方差、矩、相关系数、次序统计量等。 当子样是… (阅读全文)

概率论

概率论研究的对象是随机现象,即不可预测或控制的现象。随机现象的一个结果就叫一个随机事件;而每一个基本结果称为一个样本点,所有样本点的集合称为样本空间。因此,随机事件就是一些样本点的组合,事件的相互关系及运算与集合类似。 随机事件的概率是其发生的可能性的一种度量。在样本空间V的所有子集上定义一个非负函数P,如果它满足: (i) 0  ≤  P(A) ≤ 1,(ii) P(V) = 1… (阅读全文)

实变函数

由于黎曼积分要求被积函数连续或分段连续,但还有大量的间断函数,这使得黎曼考虑了这样一个问题:积分的概念可能推广到怎样的间断函数上去?这导致了实变函数论的诞生。 实变函数是建立在集合论的基础之上的。 戴德金用分割的方法来定义实数:把所有有理数的集合分成两个不相交的非空集合A和B,使得A中的每一个数都小于B中的每一个数。戴德金准则说,必定存在一个数,介于这… (阅读全文)

单复变函数

由于解代数方程的需要,产生了复数;自然,复数在多项式理论中具有重要意义。对于其它函数,如果能够展开为推广的幂级数,那么,在进行运算时,就非常方便。正如多项式一样,函数的性质只有放在复数域内,才能够完全弄得清楚。 所谓的复变量函数,就是从一个复变量Z到另一个复变量W的对应:W = f(Z);它可以是单值的,也可以是多值(甚至是无穷多值)的。从几何的观点看,就是… (阅读全文)

偏微分方程

含有一个多元函数及其至少一个偏导数的方程叫做偏微分方程。当阶数为N时,依赖于N个任意函数的解叫做通解。边值问题的存在唯一性依赖于具体的方程,如热传导方程的解满足最大值原理,由此可以推出解的唯一性。 偏微分方程大多来自于物理问题,最典型的是热传导方程和波动方程,因此,这门学科有时又被称为数学物理方程。要推导物理方程,必须得具备相关的物理知识。 一阶偏微… (阅读全文)

常微分方程

含有未知函数的导数(或偏导数)的方程叫做微分方程;如果是一元函数,就叫常微分方程(ODE),其中所含的导数的最高阶数就是微分方程的阶。如果是多元函数的偏导数,那就叫偏微分方程(PDE)。实际上,很多物理问题和技术问题的研究都可以归结为微分方程的求解问题:只要是涉及变化率的问题皆如此。 一个微分方程的解函数(积分曲线)有无穷多个。当阶数为N时,其通解包含N个任… (阅读全文)

无穷级数

无穷级数就是可数的无穷多个数相加,其和定义为前n项之和当n趋向于无穷大时的极限;如果极限不存在,就说级数是发散的。 在无穷级数的理论中,有三件事要做: (1)收敛性的判定。除了数列极限的存在性准则外,数学家们还发展了许多充分性的判别法;诸如正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等等;交错级数的迪里克莱判别法,一般变号级数的绝对收敛性判… (阅读全文)

多元函数微积分

一般而言,一个量往往依赖于不止一个的其它变量,例如最简单的长方形的面积,依赖于它的长和宽;长方体的体积依赖于它的长、宽、高。自然地,我们就有了多元函数的概念。 二元函数的定义域是平面上的一个区域,通常由不等式组给出;二元函数的图形是空间中的一个曲面,尽管不易画出,却是我们唯一能画出的多元函数的图形:三元、四元函数的图形只能存在于抽象空间中,因为我们… (阅读全文)