多元函数微积分

字体 -

一般而言,一个量往往依赖于不止一个的其它变量,例如最简单的长方形的面积,依赖于它的长和宽;长方体的体积依赖于它的长、宽、高。自然地,我们就有了多元函数的概念。

二元函数的定义域是平面上的一个区域,通常由不等式组给出;二元函数的图形是空间中的一个曲面,尽管不易画出,却是我们唯一能画出的多元函数的图形:三元、四元函数的图形只能存在于抽象空间中,因为我们人类只是三维的动物。

多元函数的极限与连续性可以由欧氏距离,仿照Epsilon-Delta定义给出。初等函数在定义域内都还是连续的,尽管在分段处的极限通常不存在。

多元函数的偏导数是考虑它关于一个变量的变化率,而其它变量保持不变。这样,一元函数的求导公式都可以照搬,只是必须搞清楚,哪个是变量,哪个是常量。多元函数的链式求导法则才真正让人明白了“链式”的含义:不事先画出个“链式”关系图来,你是很难得到正确答案的。直到你能正确写出复合函数的高阶偏导数,才算真正掌握了偏导数。

高阶偏导数会与求导顺序有关,这给解决实际问题带来了不便。我们可以证明,当它们都连续时,求导结果与顺序无关。

多元函数的全微分才是真正像一元微分的东西。全微分不必指明对哪个变量求,只需按照简单的法则进行;而且,一旦算出全微分,各个偏导数也就算出来了。用高阶全微分表出的泰勒公式,是多元极值判定的基础。

多元条件极值是一个实际应用很广的问题。我们当然可以把条件方程解出来,再代入目标函数,以化为无条件极值;然而,条件方程的显式解通常是很难求出的。我们可以假设隐函数存在(有定理为基础),按隐函数求导,再解方程。聪明的Lagrange构造了“乘子”法,让这些计算可以一不完成,而不必去解隐函数的偏导数。

有了多元微分,我们可以研究曲面的性质,如切平面,方向导数等;可以刻划向量场的性质,如梯度、散度、旋度,这些概念在多元积分中会用到。

 

一元连续函数都是黎曼可积的,多元函数亦是如此。

对于二元函数f(x,y),假设它在一个有界闭区域D上有界。我们把D分成许多小块(矩形的、圆形的或任何其它形状),“算出”各小块的面积,并在每一小块上任意取一点,计算函数值,二者相乘,再对所有小块求和(黎曼和);然后令所有小块收缩为一点(面积趋向于零),如果黎曼和有一个与分法和点的取法无关的极限,这个极限值就叫做给定函数f(x,y)在区域D上的二重积分。

二重积分的计算,可以化为二次积分、变量代换,尤其是极坐标变换。二重积分的应用包括平面曲域的面积、柱体的体积、平面薄板的静力矩、重心、转动惯量等。在具体应用中,我们不必去作黎曼和,只要计算无穷小块的面积微元、构造二重积分即可。

如果把二元函数改为三元函数、平面区域改为空间区域、面积改为体积,那就得到了三重积分的定义。计算方法依然是化为累次积分和变量代换,特别的空间曲域可以使用特别的代换,如柱体可以用柱面坐标,球体可以用球面坐标,只要用Jacobi行列式写出体积微元的变化就行。三重积分可应用于体积、物体质量、重心、转动惯量等。

二、三重积分可以用极限推广到无穷区域和无界函数的情形。

 

另一方面,我们还有其它的几何形体,如曲线与曲面。定积分可以看作是一条直线段上的积分,自然可以推广到曲线段上。我们有两种曲线积分:关于弧长的和关于坐标的;前者来自于弧长与曲线的质量,后者来自于力的作功或者流量场通过一条曲线的流量。关于坐标的曲线积分(称为第二类曲线积分),有与路径无关的条件讨论,在此条件下,可以改变路径以简化计算;变限的曲线积分可以表示一类简单的偏微分方程的解。

二重积分可以推广为曲面积分。这也有两类:关于面积的和关于坐标的,前者来自于曲面面积和质量,后者表示流体通过曲面的流量。计算上,只要有面积微元的公式与向量的点积即可。

曲线/曲面积分与二/三重积分是相互关联的。平面上的第二类曲线积分可以化为二重积分(格林公式),空间中的第二类曲线积分可以化为第一类曲面积分(Stokes公式),第二类曲面积分可以化为三重积分(奥斯特洛格拉德夫斯基公式)。所有这些,还完全可以代数化。

 

我们可以给出n维空间中关于n维形体度量的积分的最一般定义,讨论其计算方法,如化为累次积分和变量代换;再定义一些关于低维形体的积分,研究它们之间的关系,做到完全代数化。只是,这没有了什么实际意义。

分享博文至:

    目前没有评论

发表评论