常微分方程

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含有未知函数的导数(或偏导数)的方程叫做微分方程;如果是一元函数,就叫常微分方程(ODE),其中所含的导数的最高阶数就是微分方程的阶。如果是多元函数的偏导数,那就叫偏微分方程(PDE)。实际上,很多物理问题和技术问题的研究都可以归结为微分方程的求解问题:只要是涉及变化率的问题皆如此。

一个微分方程的解函数(积分曲线)有无穷多个。当阶数为N时,其通解包含N个任意常数;一旦给定初始条件后,其解就唯一确定了。然而,有的方程还会有不包含在通解中的奇解。

微分方程理论首先要解决的问题是解的存在性与唯一性。对于一个向量型的方程dX/dt = f(t, X), 只要函数f及其对各X的一阶偏导数连续,那么解是唯一存在的。这里,一阶偏导的连续性可以换作其有界性或函数本身的李普希兹条件,结论仍然成立。定理的证明采用欧拉折线法或者逐次逼近法。对于高阶微分方程解的存在唯一性,可以通过引进新的变量化为一阶方程组的情形。

微分方程的求解,只有很少的几个简单类型能够用已知函数的有限个积分表出,而且每种类型的解法也是特定的。我把它列举如下:

(一)一阶方程:

变量分离方程:解法是分离变量后,两边同时积分;

线性方程:可乘以积分因子或先解齐次方程;

全微分方程:配成全微分,解可用曲线积分表出;有的方程可有积分因子;

齐次方程:用变量代换法。

常系数线性方程组:可以通过变量代换,化成(矩阵)对角型(如果幸运的话)或者Jordan标准型。

其它的可尝试变量代换或引进参数等。一些一阶非线性方程组,可以通过合分比运算求出一些可积组合。

 

(二)高阶方程:

一些缺项的高阶方程,可以通过变量代换降阶;

常系数线性方程。齐次的,理论上可以用特征值表出,关键在于高次多项式方程的解能否求出;非齐次的,可以用一个特解加上相应的齐次方程的通解而得出所有的解。那个特解,可以用常数变易法、算子法、Laplace变换等方法求出。

变系数的线性方程没有一般解法。如果知道了一个特解,可以用除法降阶一次;至于那个特解,可以去猜。对于多项式系数的方程,其解可以用幂级数表出。

二阶变系数的线性方程具有一些特殊解法。如果知道了一个特解,就降为一阶方程了;任意两个特解满足刘维尔公式;边值问题可以用格林函数求解。

 

对于那些解不出的方程,可以求近似解或数值解。其实,描述物体运动归律的微分方程本身也都是近似的和理想化的,其解是近似的,自然也是可以接受的。

但是,我们必须讨论解的性质,例如它是有界的还是会趋向于无穷大,对初始值的依赖性等。李雅普络夫定义了解的稳定性:对于方程 dX/dt = f(t, X)满足初始条件 t= t0, X = X0的解X = F(t,X0) 如果初始值变动很小,此解也变动很小,那就叫做稳定的;严格来说就是,对任意的Epsilon>0,总存在Delta>0,只要|X1 - X0|小于Delta |F(t, X1) - F(t,X0)|就小于Epsilon.由于可以作变换X - F(t,X0),只需讨论零解的稳定性即可。

李雅普络夫用函数f的线性主部来研究渐近稳定性,给出了基于矩阵特征根的判别法;还构造了李雅普络夫函数来给出稳定性的一个充分条件。

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    1 条评论

  1. 1. Megan - 2019年9月1日 10:14

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