抽象代数

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抽象代数研究运算的性质、代数系统之间的关系以及分类。究竟有多少种运算?那要看运算的对象。我们已经有了实数、复数、四元数、向量、矩阵、集合、范畴,也许还会有别的新发现;而运算可以是完全抽象的,你只要能把一个对象变成另外一个对象,或是把两个对象捏成一个就行。

一个代数系统是一个具有一个或多个运算的集合S。一个m元运算指的是,对于集合S中的任意m个元素,按照一个给定的规则,都确定了一个S中的唯一的一个元素。

G是具有一个二元运算(称为乘法*)的集合,要求其运算满足:

结合律:对G中任意三个元素a,b,c a*(b*c) = (a*b)*c;

单位元e 对任何G中元素ae*a = a*e = a;

逆元: G中任何元素a,都存在G中唯一的一个元素b,满足a*b = b*a = e.

如果乘法运算满足交换律,这个群就叫做交换群。如果集合G只有有限个元素,就叫有限群,否则就是无限群。

在运算性质方面,有共轭元素类、生成元、阶数等概念;在一个群的内部,有子群、不变子群、陪集、商群等概念。

在两个不同的群之间,有同构、同态的概念。同构是两个群之间保持运算的一一对应,而同态不要求一一对应,只要是单值的、保持运算的对应即可。 可以证明,任何一个群都与它的元素集合的某个变换群同构。

在同态的概念下,群有n阶(矩阵)表示:如果对于群G的每个元素g, 都有一个确定的n阶可逆矩阵A(g)与之对应,使得A(gh) = A(g)A(h) 【事实上,复数域上的所有n阶可逆矩阵在矩阵乘法下构成一个群】。 群的矩阵表示有无穷多个,可以用矩阵的等价来定义表示的等价关系;也可以用分块对角矩阵把两个表示“合并”起来;这样,利用等价的对角型矩阵,就有了可约与不可约表示的概念。

群的种类数之不尽。已被深如研究的群有:置换群、变换群、结晶群、伽罗瓦群、李群、拓扑群、基本群、扭结群等。

 

对于具有两个运算的系统,我们有域、环、格等。

一个域具有两个二运算,分别叫做叫法和乘法,在每种运算下都是一个交换群,而且乘法对加法满足分配律。

一个环具有加法,要求形成交换群;一个乘法,满足对加法的分配律(不要求有逆元、也不要求满足交换律或结合律)。 如果乘法满足交换律,就叫交换环。一个环的理想子环,是环的一个子集,它本身在给定的加法和乘法下构成一个环。对每个理想子环,可以构造商环。

一般的环中可能具有零因子。没有零因子的可交换环叫做整环。 在整环中,可以引进素元的概念,但是,素因子分解的唯一性定理不成立。

 

格定义在一个偏序集M上。M中的一个关系«称为一个偏序关系,如果它满足以下三条性质:

自身性:对M中的任何元素a, 都有a«a

自反性:若a«b, b«a, 那么 a = b;

传递性:若 a « b, b « c, 那么, a « c.

如果任何两个元素a, b都有唯一的最小公共大元 c,即 a « c, b « c,c就叫ab的和,M称为上半格; 如果任何两个元素a, b都有唯一的最大公共小元dd就叫ab的积;M叫做下半格。既是上半格又是下半格的偏序集,就叫做一个格。具体的例子是集合的包含关系、并与交集运算。

 

一个域F上的结合代数系统S,具有三种运算: F中的数乘以S中的元素, 结果仍在S中; S中的元数具有加法和乘法两种运算。这些运算满足以下性质:

S中元素加法满足交换律、结合律,有零元;

S中的乘法对加法满足左、右分配律;零元乘以任何元素得零元;

F中的数乘对S中的加法满足分配律;F中的加法对S的数乘也有分配律;

F中的数乘对S中的乘法有结合律;F中的乘法对S的数乘也有结合律。

S中存在一个基底。

结合代数可以同态于矩阵代数。如果不要求S中的乘法,这就定义了F上的一个线性空间S。在非结合的代数系统中,最有趣的是李代数,它与李群(即连续群)有密切的联系。它的乘法运算满足: ab = -ba , a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0. 每一个李代数都存在一个同构的矩阵代数。

 

代数学中没有连续性的概念,这是它的客观性质。离散与连续是辩证的统一:连续是由离散构成的,而在连续性中不收敛的对象,就看作一个个的离散体好了。分析研究的是变换,是一元运算;代数研究的二元运算。这两者能否统一,还有待研究。

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    15 条评论

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