线性代数

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线性代数的第一个问题是解多元一次方程组,一般解法是Gauss消元法,即通过以下三种同解变换把方程组变为阶梯形:

一个方程乘以一个非零数,加到另一个方程;

一个方程的两边同除以一个非零数;

交换两个方程的位置。

这些运算实际上只是对系数进行,与变量无关。于是,人们只把系数及右边的常数项排成一个数阵,就得到了一个矩阵;解方程组就等同于对此矩阵进行行变换。

 

矩阵就是一个表格,当我们需要记录二维数据、表示两个对象之间的关系时,都可以用矩阵。图论中,顶点的关联矩阵进行乘法时,可以得出各种长度的路线条数;随机过程中的转移矩阵进行乘法时,可以计算各种概率以及终极状态。

同类型矩阵的加、减、数乘,是逐个按元素进行的;矩阵的乘法,来自于线性变换的代入运算,是用左边矩阵的行去乘右边矩阵的列(因此,左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数)。这些运算满足除乘法交换律之外的其它规律,如零矩阵、加法逆元、加法交换/结合律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。

乘法单位元只对方阵(正方形矩阵)才有。方阵在乘法运算下的逆元,称为其逆矩阵;但并不是任何方阵都有逆,只有当其行列式不为零、或其行(列)向量线性无关时,方阵才可逆。

当线性方程组中的未知数个数等于方程个数,它的解可以用系数矩阵的逆(如果存在的话)表出。但逆矩阵的计算并不容易(二阶矩阵除外),可以使用初等行变换(或列变换,但二者不能同时),或者伴随矩阵(涉及许多行列式的计算)。

 

矩阵的运算与行列式分不开。n阶方阵的行列式是一个数,其定义中包含n!个项,以及由各个排列的逆序数所确定的符号。幸运的是,它具有很多有趣的性质,比如,可以按行或列展开,可以分块计算。

计算行列式的一般方法是按以下性质把它变换为三角形(或对角形)行列式:

交换两行(列),行列式变号;

 

可以按行(列)提取公因数;

一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上,其值不变。

有了行列式,N个未知数的N个方程的解,就可以用两个行列式的相除表示:这就是Crammer法则,条件是系数行列式不等于零。

 

线性方程组的一般解可以写成向量的线性组合。由于齐次线性方程组的解具有叠加性,我们要求用最少个数的向量来表示。这就有了线性无关与秩的概念:这是线性代数中最难理解的地方。

抽象的向量来了!它们在一起组成了线性向量空间。空间有基底、有维数,还有子空间;空间里的向量可以做线性变换、在不同的基底下有不同的坐标表示。不同的向量空间之间也是有关联的,空间还可以合并或分解。线性空间的表示离不开矩阵。

一个线性变换在不同基底下的表示矩阵,由基底之间的变换矩阵唯一确定。这就产生了相似矩阵的概念。如果在某个基底下的表示是一个对角型矩阵,这种变换就很简单;这就是矩阵的相似对角化。

为此,我们引进了特征值与特征向量的概念。在一定条件下,矩阵式可以对角化的。在一般情况下,可以进行Jordan标准化。抛开线性变换的概念,也可以用Lamda矩阵来做,可多项式的因式分解并没有一般方法,这又谈何容易!

 

如果在向量中定义点积运算,我们就有了距离和角度的概念,从而有了垂直的概念和正交基,还有Schmidt标准正交化过程。在正交基下,点积运算又变得相当简当,一切有好像会到了三维空间。

由于二次型可以用对称矩阵的乘积来表示,线性代数又研究起二次型来了。最简单的二次型自然是只有平方项、没有混合二次项的,于是,我们要在合同变换(就是配平方)下,把实对称矩阵对角化。

实对称矩阵具有一些特殊性质,例如其特征值都是实数,对应不同特征值的特征向量互相正交。可以证明,它一定可以在正交变换下对角化。

线性代数,其实也可以看成是矩阵代数。

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    8 条评论

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