2013年10月17日 的存档信息

微分几何

微分几何是用微分的方法研究曲线和曲面在点上的局部性质,因此要求它们有足够高次的导数。关键的概念是长度,因为角度和面积都可以用长度来确定;因此,在微分几何里,曲面的弯曲变形也是以保持曲线长度不变为前提的。 平面和空间曲线都是一维的,其方程(曲线上点的坐标)可以用一个参数给出。与平面曲线有关的是三个基本概念:长度、切线、曲率。 空间曲线则还有密接平面和… (阅读全文)

函数总论

记得在我读博的第二年,回乡下的老家过暑假时,一位老乡问我毕业了没有?我说还有一年。他大吃一惊:怎么加减乘除都要学这么多年?他知道我是学数学的。 现在的数学那么大,难道就真的没有办法将其统一?我思考了许多年,终于想到了一个办法。正如标题所表明的,各种数是可以表示的,各种形体也是可以描述的,各种函数及其运算是可以统一的。具体的思路是: 。。。          … (阅读全文)

数值分析

如果一个量或方程的解可以用整数的有限次加、减、乘除来完成,那是最理想的。然而,实际问题中,我们并没有精确的公式,只有近似值。数值分析就是要找到一种近似计算的方法,以容许的误差,对有限个数进行有限步运算,而得到有限个结果。计算方法的设计与负责计算的数学家的知识和经验有很大的关系。 如果用一个数列去逼近某个准确值,我们首先要确定数列的收敛性;这样就从理… (阅读全文)

函数逼近

正如实数要用有理数来逼近一样,函数也可以用一些简单函数,如多项式、有理函数、三角多项式来逼近。 多项式是最简单的函数,它只涉及加、减、乘三种算术运算。对于无穷次可微的函数,泰勒级数的部分和提供了很好的逼近,误差的估计也可以用拉格朗日余项或积分余项得到。实际上,初等函数值的计算正是按此进行的。 对于一般的函数,我们可以用插值多项式逼近。我们有牛顿插值… (阅读全文)

线性泛函

泛函分析研究高维及无穷维空间里的函数以及算子。算子是把一个函数变成另一个函数的一种变换;线性算子是有限维向量空间里的线性变换的推广,而线性泛函是取实值或复值的线性算子。 要定义函数,先得有定义域,这必须有赖以寄存的空间。我们分三个层次来定义空间,并按性质将其分类。首先是距离空间。欧氏空间里的距离是很直观的;在一般的无穷集合(数、点、集、函数等等任何… (阅读全文)