数值分析

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如果一个量或方程的解可以用整数的有限次加、减、乘除来完成,那是最理想的。然而,实际问题中,我们并没有精确的公式,只有近似值。数值分析就是要找到一种近似计算的方法,以容许的误差,对有限个数进行有限步运算,而得到有限个结果。计算方法的设计与负责计算的数学家的知识和经验有很大的关系。

如果用一个数列去逼近某个准确值,我们首先要确定数列的收敛性;这样就从理论上保证了,只要进行足够多次的运算,就可以任何精度靠近那个准确值。然后,要进行收敛速度的估计;收敛速度快的,为达到同样精度所需要的计算量自然就少。但有时还要考虑在计算机上实现的方便性。

计算中的误差一般用差值的绝对值的上界来估计,因为精确值未知。估计时,可能使用函数的导数、泰勒公式、任何不等式技巧。

还要考虑计算方法的稳定性。由于每一步计算都有误差,到最后时,总误差可能严重偏离准确值。这就要在每一步迭代运算时,事先进行偏差的估计。

通常要进行计算的方面有:

函数值的近似计算,这与逼近论有关;

多项式方程的近似解;

线性方程组的数值解法;

定积分的近似计算:可以用矩形法、梯形法,以及用二次多项式逼近的辛普森公式。高斯证明了,可以找到N个结点,使得求积公式对一切次数不超过2N+1的多项式准确。

微分方程的数值解;等等。

 

计算复杂性理论是机器计算的理论基础。其中的P-NP问题至今没有解决。

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    45 条评论

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