线性泛函

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泛函分析研究高维及无穷维空间里的函数以及算子。算子是把一个函数变成另一个函数的一种变换;线性算子是有限维向量空间里的线性变换的推广,而线性泛函是取实值或复值的线性算子。

要定义函数,先得有定义域,这必须有赖以寄存的空间。我们分三个层次来定义空间,并按性质将其分类。首先是距离空间。欧氏空间里的距离是很直观的;在一般的无穷集合(数、点、集、函数等等任何对象)中,一个二元实值函数,如果满足非负性、对称性、三角不等式,就称为一个距离。不同的距离,把我们带进不同的空间。

有了距离的概念,就可以定义收敛性、基本序列(任意两项无限接近的序列)。如果基本序列都收敛,该空间就称为是完备的。距离空间总可以完备化,即有包含此空间的最小的完备距离空间。

如果一个点集A包含所有的极限点,那就称为闭的;如果任何一点都是某个序列的极限点,该点集就称为是稠密的。如果A中的任何无穷序列都有收敛的子列,A就是列紧的;如果极限点还在A中,A就是自列紧的。

如果一个空间具有可数的稠密子集,就称为可分的。如果任何两个不同的点都有两个不相交的邻域,此空间称为Hausdorff空间。

两个距离空间之间有映射。映射可以是连续的、压缩的、等距同构的;在完备距离空间中,压缩映射具有唯一的不动点。

 

二是赋范线性空间。一个准范数,是一个一元实值函数,满足非负性、三角不等式、负向量等值、数乘趋零。按准范数定义收敛性的空间,就是F*空间;完备的准赋范空间称为Frechet空间。

一个范数,是具有齐次性的准范数;有了范数,更可以定义距离。完备的赋范空间称为Banach空间。

三是内积空间。一个内积,是一个具有非负性、共轭对称性的共轭双线性函数(实值或复值)。有了内积,更可以定义范数、距离。由Cauchy-Schwarz不等式,还可以定义角度。有了正交的概念,就有正交集、正交补,和Parseval等式。

完备的内积空间称为Hilbert空间。

 

对于一个无穷维线性空间,到底存不存在非零的连续线性泛函?Hahn-Banach定理利用凸集的性质,通过延拓的方法解决了这一问题。

在一个BBanach)空间X到一个B空间Y的所有连续(即有界)的线性算子T的集合L(X, Y)中,可以定义范数||T||,再定义算子间的线性运算,即构成一个Banach空间。一个Banach空间上的所有连续线性泛函构成的全体,自然也是一个B空间,称为X的对偶空间X*。对偶空间还有对偶空间X**;如果第二对偶空间与原空间X等距同构,就称为自反空间。

有了全部的线性泛函,可以定义点列的弱收敛;而按范数的收敛称为强收敛。X*上,泛函序列对所有点的收敛称为*弱收敛。没有强极限的序列可以有弱极限;正如P-adic数的收敛性一样,收敛性是可以广泛定义的。

 

Hilbert空间中,Riesz表示定理断言,任何一个连续线性泛函都可以唯一地表示成内积的形式;有界的共轭双线性函数亦然。(这就怪了:内积是用共轭双线性函数来定义的,现在又用内积来表示共轭双线性函数?)。

线性算子还有共轭算子、逆和谱。

如果一个线性算子T既是单射,又是满射(可能吗?),它就有逆算子T-1。开映像定理表明,逆算子也是连续的。

谱的概念来自于线性变换的特征值和特征向量。光谱其实就是某个算子的特征值的分布;系统的稳定性也取决于特征值。算子本身的性质,也可以用特征值来刻划。由于解方程的困难,在无穷维空间里,谱只能通过复变函数的办法来估计。

 

我们还要推广函数的概念。取n维欧氏空间中的一个开集Ω,其闭包上的所有连续函数都定义一个支集(函数值不为零的所有点集);把支集在Ω内紧的、具有各阶导数的函数组成一个集合,在其中定义一种收敛性,就得到了一个基本空间。可以证明,此空间是序列完备的。基本空间上的所有连续线性泛函都称为广义函数。

广义函数可以定义弱收敛性,有积分表示;还有各种导数。Frechet导数把方向导数的概念推广到Banach空间中;Gateaux导数则把同样概念推广到局部凸的拓扑线性空间上;Sobolev广义微商让偏微分方程的求解变得简单。两个广义函数不能有乘积,因为结果不再是广义函数。广义函数可以进行平移、反射、傅立叶变换。

 

函数到底是什么?又如何进行运算?原来一切都是数学家们的恣意狂想(Caprice)。

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    2 条评论

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