2013年10月 的存档信息

实变函数

由于黎曼积分要求被积函数连续或分段连续,但还有大量的间断函数,这使得黎曼考虑了这样一个问题:积分的概念可能推广到怎样的间断函数上去?这导致了实变函数论的诞生。 实变函数是建立在集合论的基础之上的。 戴德金用分割的方法来定义实数:把所有有理数的集合分成两个不相交的非空集合A和B,使得A中的每一个数都小于B中的每一个数。戴德金准则说,必定存在一个数,介于这… (阅读全文)

单复变函数

由于解代数方程的需要,产生了复数;自然,复数在多项式理论中具有重要意义。对于其它函数,如果能够展开为推广的幂级数,那么,在进行运算时,就非常方便。正如多项式一样,函数的性质只有放在复数域内,才能够完全弄得清楚。 所谓的复变量函数,就是从一个复变量Z到另一个复变量W的对应:W = f(Z);它可以是单值的,也可以是多值(甚至是无穷多值)的。从几何的观点看,就是… (阅读全文)

偏微分方程

含有一个多元函数及其至少一个偏导数的方程叫做偏微分方程。当阶数为N时,依赖于N个任意函数的解叫做通解。边值问题的存在唯一性依赖于具体的方程,如热传导方程的解满足最大值原理,由此可以推出解的唯一性。 偏微分方程大多来自于物理问题,最典型的是热传导方程和波动方程,因此,这门学科有时又被称为数学物理方程。要推导物理方程,必须得具备相关的物理知识。 一阶偏微… (阅读全文)

常微分方程

含有未知函数的导数(或偏导数)的方程叫做微分方程;如果是一元函数,就叫常微分方程(ODE),其中所含的导数的最高阶数就是微分方程的阶。如果是多元函数的偏导数,那就叫偏微分方程(PDE)。实际上,很多物理问题和技术问题的研究都可以归结为微分方程的求解问题:只要是涉及变化率的问题皆如此。 一个微分方程的解函数(积分曲线)有无穷多个。当阶数为N时,其通解包含N个任… (阅读全文)

无穷级数

无穷级数就是可数的无穷多个数相加,其和定义为前n项之和当n趋向于无穷大时的极限;如果极限不存在,就说级数是发散的。 在无穷级数的理论中,有三件事要做: (1)收敛性的判定。除了数列极限的存在性准则外,数学家们还发展了许多充分性的判别法;诸如正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等等;交错级数的迪里克莱判别法,一般变号级数的绝对收敛性判… (阅读全文)

多元函数微积分

一般而言,一个量往往依赖于不止一个的其它变量,例如最简单的长方形的面积,依赖于它的长和宽;长方体的体积依赖于它的长、宽、高。自然地,我们就有了多元函数的概念。 二元函数的定义域是平面上的一个区域,通常由不等式组给出;二元函数的图形是空间中的一个曲面,尽管不易画出,却是我们唯一能画出的多元函数的图形:三元、四元函数的图形只能存在于抽象空间中,因为我们… (阅读全文)

一元函数微积分

微积分研究函数的微分与积分运算及其应用。 据说是Newton和Leibniz各自独立地发明了微积分;Newton是从物理量的变化率得出了流数的概念,而Leibniz则是从几何图形的切线斜率导出了微分的概念;两人都是从Fermat求极值的方法得到了启发。 微积分学的基本概念是导(函)数,即函数平均变化率的极限。并非所有函数都有导函数,不可求导的点包括:不连续点、尖点、具有垂直切线的… (阅读全文)

第三次飞跃:从变量到极限

在代数里,变量可以取不同的值,但一经取定,就不能再变;可现实中的量,总是在“连续“不断地改变着。比如,当我们给一个物体加热时,刚开始,温度上升的很快,到后来就上升得较慢了。我们需要一种能够描叙这种改变的概念,这就是极限。 在一个函数中,当自变量改变时,因变量随之改变;函数改变量与自变量的改变量的比值,称为平均变化率;比如我们行车的平均速度。但我们怎么… (阅读全文)

数学命题与逻辑

逻辑讲的是一个“理”:什么样的道理是可以接受的?这因人而异;我们并没有什么放之世界而皆准的真理。退而求其次:给定一条真理,什么样的推论是合理的?我们奉行的是三段论推理模式。 命题就是包含某种信息的一句话(不算疑问句和祈使句),只要能判定真假即可;一个命题通常分为条件与结论两个部分。在给定一个命题为真的前提下,当其条件满足时,结论必然成立:此即三段论。… (阅读全文)

向量

数学中,只有大小的量叫做标量(Scalar),既有大小又有方向的量叫做向量或矢量(Vector)。向量又分为自由向量与刚体向量;自由向量可以平行移动,只要大小相等方向相同就被认为是相等的,因此与起始位置无关。 物理中的向量(如力、位移、速度、加速度、电/磁场强度等)实为 刚体向量,但运算时,通常按自由向量进行。 向量可以用有向线段表示,其长度为向量的大小,方向在二… (阅读全文)