2013年10月 的存档信息

复数

复数的最早出现是在1545年,Cardano把方程x(10 – x) = 40 的解写成 x = 5 ± sqrt(-15)。 由于负数没有平方根,他对此类新数进行了研究。 1572年,Bombelli 研究了这些数的运算规则;1637年, Descartes 使用了“虚数”与“实数”的名称; 后来, Lebniz, Euler, 及De moivre研究了虚数与三角函数的关系。是Euler 第一个用符号i 来表示– 1的平方根(虚数单位)。 1797年,挪威数学家… (阅读全文)

数列

在小学里,学生们就被给予了一列物品或数字,要求找出排列的规律。这类练习不用计算,显得较为有趣,目的在于培养他们的观察、联想能力。 对于一系列的图形,它们都有些什么变化规律呢?在平移、反转、旋转、伸缩?还是在分裂、合并?是周期性地重复,还是在不断地增减?这让我想起分形几何,一个简单的图形可以变化万千,形成许多美妙的图案。 对于数字序列,规律就更多了。… (阅读全文)

初等函数

坐标几何做到了用代数的方法做几何,但是,实现代数与几何的统一,却是函数这个概念。 函数指的是一个量(因变量)与其它一个或多个量(自变量)的依赖关系。当只有一个自变量时,称为一元函数;多个自变量时,就叫多元函数。如果自变量仅取正整数值,就叫离散函数或者数列;当自变量可取复数值时,就是复变(量的)函数。对于同一组自变量,如果因变量可以取不止一个值,那就… (阅读全文)

几何图形的性质与论证

图形的性质包括角与边的相互关系,关于点/线/面的对称性,图形之间的相交、相切、全等与相似,拓扑性质如凸包,图形的分类与计数等。揭示图形的性质,可以从量的计算来进行,也可以是纯粹的公理化演绎。 演绎是从已有的结论出发,推出新的结论。在欧几里德的几何原本的第一卷中,他从23个定义、5个公设、5个关于量的比较原则出发,直接推出了48个命题;而后人推出的结论更是数… (阅读全文)

平面坐标几何

1837年,笛卡尔(Descartes)发表了一个长篇哲学论著,其中包含了解析几何的数学理论。其实,在17世纪前半叶,有的数学家已经接近了解析几何的观念,但并未给予足够的重视。笛卡尔创造了一种方法,可以用来解决所有的几何问题,这就是坐标方法。 所谓平面上的点的坐标,就是从这个点到两条给定的、互相垂直的直线的带符号距离。这样,平面上的点就对应了一个有序实数对(横坐… (阅读全文)

初等数论

初等数论研究正整数的性质。 最基本的整除性概念来自无剩余的除法。对于每个除数,我们都有整除性的判定规则;小学生都熟悉十以内的数的整除规则。但是,大数的整除性判定是很困难的。数学王子高斯引进了同余的概念,整除判定就化为解同余方程了。 由整除性导出了因数与倍数的概念,进而,最大公因数与最小公倍数的概念。这对于分数的运算是必不可少的;在周期循环问题中也要… (阅读全文)

不等式

现实中,两个物体完全相同的概率有多大?两个量之间相等的可能性有多大?量子力学的测不准原理告诉我们,粒子的位置的不确定性与冲量的不确定性之积大于一个常数。对所有事物来说,相等都是偶然的,不相等才是常见的。 因此,我们必须学习不等式。 不等式表示数量之间的不等关系,有>,<,及>=,<=;通常用来表示一个量的范围 或估计。 不等式的解法与方程类似,可以… (阅读全文)

第二次飞跃:从算术到代数

在算术里,我们对数值进行加、减、乘、除四则基本运算;在代数理,我们对符号(未知量)进行各种运算。 代数这个字起源于九世纪的花刺子模数学家和天文学家穆斯父子的作品名称:al-Jabr-al Mugabalab, 意思是整理和对比。 整理(al-Jabr)就是把负项移到方程的另一边;对比(al-Mugabalab)就是消去方程两边的相同项。阿拉伯字al-Jabr到了拉丁文就成了Algebra。中文译成代数,… (阅读全文)

统计初步

统计学在日常生活和工作中很重要,但在纯粹数学家们的眼里,却算不上一门学科,因为它没有自己的定理,甚至连个运算法则都没有。 当我们收集到一堆数据后,第一步的工作是分类;可以按时间、地点、人群等等我们所希望的任何方式分类。实际上,在收集何种数据之前,我们就应该有了分类的标准。样本可能出现的偏差也应当仔细考虑。 第二步工作是显示数据。可以用统计图表,如条… (阅读全文)

第一次飞跃:从正数到负数

负数最早出现在中国汉代(202BC–AD220)的《九章算术》中,那里用红棍表示正的系数,(收入),用黑棍表示负的系数(欠账)(与现在的会计记法正相反)。那时的中国人就能解答包含负数的方程组。 负数可以理解为相反方向的数,如向上为正,向下为负;向右为正,向左为负;逆时针为正角,顺时针为负;或者说,正是肯定,负是否定,这样“负负得正”就不难理解。 正、负数可以用… (阅读全文)