质数(素数)

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数论中最重要的概念是质数(又叫素数)。质数就是在整数范围里不能再分解成两个更小正整数之积的整数,也可以说,质数是整数运算的“原子”。

研究质数的性质是如此之困难,以致于任何关于质数的问题,我们几乎都无法回答。最著名的哥德巴赫猜想(1742年提出)已经快三百年了,依然无人能解。那些不太著名的问题数不胜数,如:孪生素数问题,Fermat数问题,算术级数中的质数分布问题,等等,均无人能解。原因是什么呢?

让我们回顾一下人们研究质数的方法和历史。

最原始的寻找质数方法是由Eratosthenes在公元前200年左右创造的:把2到某个数(如100)的所有数列出来, 留下2 划掉所有其它2的倍数;留下3,划掉所有其它3的倍数;再留下下一个尚未划掉的数(现在是5),划掉其后它的所有倍数;这样一直进行到最后一个数。所留下的就都是质数。

最早关于“质数的个数无穷”的证明是Euclid在公元前300年给出的。

要判定一个数N是不是质数,那是一件很困难的事。基本的是平方根方法: 用不超过N的平方根的所有质数依次去除N,如果N能被某个质数整除,那它就不是质数(是合数); 如果它不能被所有这些质数除尽,它就是一个质数。

1796年,Gauss引进了同余式概念,把整除性判定化为了解方程。基于同余式,Wilson定理给出了一个数是质数的充分必要条件,Fermat定理、欧拉定理都深刻地揭示了质数的性质。

18世纪,欧拉通过Zeta函数来研究质数,得出了质数分布的初步估计:不大于X的质数个数Pi(X)X之比,当X无限增大时,趋向于零。1848年,契比雪夫证明了Pi(X)X/LNX 差不多大; 1896年,Hadamard用复变函数证明了质数的分布定理。1916年,HardyLittlewood创造的圆法,可以估计不定方程的解数;1937年,维诺格拉朵夫创造了三角和方法,证明了三素数定理:每一个充分大的奇数都可以表示为三个素数之和。

这一切成就形成了解析数论。

代数数论则研究代数数,亦即整系数多项式的根。19世纪中叶,Ernst Edward Kummer在研究Fermat大定理时,引进了理想数的概念。质数也能分解为理想数的乘积这一揭示远比证明Fermat大定理本身要重要得多。

今天,2013117日,我用自创的无穷大分析,彻底揭开了质数的面纱。

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    9 条评论

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