要实现运算的自由

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人类社会经过不懈的抗争和努力,早已实现了观察、行动、表达的各项自由;然而,对于数字运算这种抽象的行为,尽管历经两千多年来无数数学家们的努力,却依然没有完全实现其自由。这就严重影响了我们对世界的描述,以及对事物相互关系的揭示。

我们采用位值法来表示一个数。现在已知的数类有:整数、有理数、实数、复数,这是在满足结合律、交换律、分配律下的最大数系。去掉交换律,我们有四元数、八元数等组合数;还有向量、矩阵、理想数、集合。这就是我们所知的全部。

我们通过加、减、乘、除四则基本运算来产生新的数。减法作为加法的逆运算,计算难度与加法相当,只要变更为相反数的加法即可;而除法作为乘法的逆运算,可就难了。第一守则是,不能除以零;即使不是零,其倒数也很难表示出来。最奇怪的是,一个式子是不是零,根本就判定不了。如果允许除数为零,比如引进无穷大记号,那就得区分不同的无穷大,进而就有了不同的零,于是各个数都不再唯一。按照量子力学的不确定性准则,情况应当如此;可如果数字都是不确定的,我们又如何来表示数?我想到了一种办法,正要对数学公式进行全部的改写,别人能否接受,我就不得而知了。

一个数总要用一个记号,或者说变量表示出来,这就产生了函数其实就是对一个或多个数的运算而已。最基本的函数只有六种:常数、幂函数、指数、对数、三角和反三角;在复数系下,三角函数其实是指数函数,而反三角也就是对数。函数的初等运算有五种加减乘除与复合,加上微分于积分两种分析运算。六种基本初等函数经过有限次的五种初等运算,得到的结果称为初等函数;如果要进行无限次地运算,那就是非初等函数了。

表示一个非初等函数的方法有:无穷级数、积分(一重或多重)和无穷乘积。级数和积分都有收敛性的限制,无穷乘积则对变量的所有值成立,可我们只有不到十个函数的无穷乘积表达式。这三种形式之间可以转换:级数与积分之间的转换容易实现,我们可以很方便地进行变量代换;然而,要写成乘积形式,比登天还难,我们连五次方程都解不出来。在运算方面,级数与积分的加、减、乘及分析运算可以方便地实现,除法则难以进行。我正要修改除法运算的方式,或许起到以点改进的作用。

六种函数就足以描述我们的世界了吗?我很怀疑,但又回答不了所有的函数是什么;最近准备复习一遍物理,看看能否回答这个问题;也许要从上帝创造的整数那里开始着手。在解析数论中,有的算术函数可以通过积分连续化推广到所有实数,如阶乘与Gamma函数;而许多积性函数则不能。我们还能构造什么新的函数,才能表示所有的函数呢?

运算的自由,就是要实现表达式之间的自由转换;实现了这一目标,就没有了数学难题。尽管人们已经证明了许多不可解性、不完备性、不确定性定理,但我相信,解决问题的方法总是存在的;这不正是数学家们存在的理由吗?

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    151 条评论

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