如何准备数学竞赛

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在加拿大,每年的二月到五月是繁忙的数学竞赛季节:二月有AMC10/12CMCPascal/Cayley/FermatCCC,小学生的Caribou;三月有KangarooPythagoras等等;四月有Fryer/Galois/HypatiaEuclid;五月有CMOGauss。而下半年只有11月的COMCAMC8CIMC/CSMC。这比起中国来,绝对是有过之而无不及;但是,学生们都是自愿参加,没有人逼你,也没有人把竞赛看作决定命运的大事。

数学竞赛是由一些单位组织、学生志愿报名参加、具有一定功利性质的大众活动。它与一般考试的区别是没有通过或不通过一说,有的竞赛白送分(不做题也给一定的分数),有的竞赛倒扣分(做错得负分);目的是选优选拔参加更高级竞赛的人才,或者从事某种具有挑战性工作的人才;也可能是增进学生们学习该门学科的兴趣。

数学竞赛的题目都是从哪里来的?据我所知主要是征题。像IMO的试题,是由各国提供的(如果你提供的题目被采用,岂不增加了几分胜算?)。具有挑战性的题,可能是数学家们研究工作中的副产品,或者是某个数学迷冥思苦想构造出来的。那些容易的题目,则是由组织者编造出来凑分数的,想考考某个知识点而已。

很多竞赛都搞了十几年甚至几十年,做它以往的试题对准备竞赛有不有帮助?组织者建议的办法就是如此,可是,试题决没有重复的(这是一个出题者首先要回避的!),做旧题只能让你熟悉其考试的格式而已,出题者的思路外人怎么能猜透?除非他作弊;若能从过去的试题推知其考试范围,那就很不错了,但是难题可能根本就没有范围,IMO题题皆是如此。

我的经验是,做基础题靠知识(Knowledge),做中等难度的题靠策略(Strategy),做难题要靠脑袋灵活外加运气(lucky)。知识是首要,如果连名词的意思都搞不懂,又何谈去做题?有的出题者故意在用词上迷惑你。有一次,我跟一个六年级学生对一道题争论不休:那题先是说furthest on the right,我理解为在最右边;下一句它就变成了furthest to the right,我按最左边去做,结果错了,原来它还是指最右边。昨天看了AMC10 Test B 的第二十题,它说了平面的Dilation,后面跟了一句 size transformation at a scale factor;我琢磨了半天也没有明白其意,只好放弃。遇到这种题,不能怪我们的知识不够,只能怪出题者刁难;除了放弃,别无它法。

策略就是要找到最快的解答方法。竞赛的时间很短,技巧(skills)自然不可少;但是,出题者更刁:有的计数题,除了一个一个列举外,根本就没有其它方法;有的计算题,没有两、三页纸根本就写不下,组织者赛后公布的答案甚至更长!这明摆着是出题者(不是一个人)自己也不可能在规定时间内做完的!由于学生们平时在学校里学到的方法大都是最笨的方法,你只得自己另寻高谋了。

如果一种办法都不知道,那就要靠脑袋好使外加运气了。在平时,在长时间反复思考一个问题而不得其解后,脑袋里可能哪根筋突然接通了,办法就来了。在时间较长(两个小时以上)的竞赛中,这有可能,我也深有体会;但是在只有一个小时的竞赛中,你是没有时间去作长久思考的;除了凭运气去猜,真的只好放弃了。

明天就是Pascal /Cayley/Fermat竞赛,祝学生们好运!

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    9 条评论

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