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通天方程

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一个人一生能够有属于自己的一个方程实属不易。牛顿因为F = ma 而被世人永记,爱因斯坦因E = mC^2 而留芳百世;统计力学中的基本假设S = klnW 更是简洁无比,而且意义非凡。

曾有人断言,在Maxwell的电磁学方程之后再无其它方程。Schrodinger 却从Hamilton 方程推出了举世闻名的波幅函数的方程,Dirac 还把它更加一般化了。其实呢,电磁学方程只不过是Coulomb定律和Biot-Sarvart 定律的推论罢了,只需要做一丁点微积分运算而已; 可这两个定律本身却并不完善,都忽视了物体之间相互作用力的一个基本项,也就是日本物理学家SINO-ITIRO TOMANAGA发现的、与距离成正比的力项。

什么是方程?一些量之间的相互关系,用等式或不等式表示出来而已。为了描述一个物一件事,我们需要哪些量呢?三方:我(波测者)、它(物)、事(时空)。我是主观的,观察的主体,因为我有心智,会观察、能思考,我要靠电磁波去感知量的存在与多寡。物是客观存在于空间的,是我之外的一切其它,不以我的意志为转移,但可以相互影响。事是物在一个宇宙中的位置、形式的改变,这个改变是以时间为刻度的:在两个不同时刻,一个物件的位置或者形状总在变;在一个位置、一个时刻,只能有一个物件。一个物件可以由其位、时、能来描述,能就是事,是物发生变化的潜在趋势的一种量化描述;然而,要找到一个数学式子,并不是一件容易的事。

首先是,一物在空间中的位置怎么量化?告诉我你的地此?X 号宇宙,Y 号星系,Z 行星,W 地区,U 城V 街0号住所?谁知道你在说些什么。我们需要一个参照物,还需要方向。方向怎么量化?用射线:先确定维度是多少,再找几个起始的参照射线。维度又是什么东西呢?量化描述某物所需要的独立参数的个数。

对于位置的改变,也就是位移,要用到长度(距离)和时间。在抽像的度量空间中,距离是可以随意定义的,只要满足三条公理即可;欧式距离只不过是其中之一罢了。在爱因斯坦的时空理论中,距离连三角不等式都不满足,只不过是罗伦兹变换下的一个不变量( 一个变换下的不变量又何止千万!);距离要靠主观的测量才能确定,单位换算又是另外一回事。时间的测量更是因人而异了!我的心跳频率跟你的肯定不一样,我测到的间隔又怎么能跟你测到的一样呢?

那么,到底有不有不依赖于观测者的量呢?在牛顿力学里,引力加速度是个常量。推而广之,任何保守场的场强都是一个常数,只要假定场力与位置、时刻无关。可哪些相互作用与位置、时刻无关呢?仅仅那四种自然力吗?暗能量算不算一个?意志力又怎么量化?

爱因斯坦假设光的传播速度是绝对的,只依赖于媒介,与位置、时刻无关;由此便可以推出狭义相对论了。推而广之,我们可以假设,任何波速的大小也是不依赖于观测者的。看来,只有一些变化率不因观测而异。Heisenberg 还确定了观测的下限,那也是一个绝对量。

广义相对论只不过是把引力加速度张量化。向量也好,张量也罢,无非是一些表示量的符号而已。真正要揭示量之间的相互关系,还只有力量与能量之间的相互转换,即功能定律; 但是,力是向量,一旦作功(只有空间的一阶微分,作功就是沿曲线的环量),就会出现方向信息丢失!我们还需要穿过曲线的通量。曲线簇的切、法线方向纵横交织而成曲面,力量密度在曲线上的分布与它的微分密度在曲面(曲线所围)上的分部,总和是相等的。这就是微积分的基本定理、Green 公式、Stokes 定理、Gauss 公式。

在微分几何中,通过引进张量积、外积和外微分,导出了推广的Stokes 方程。就好像,维度的层层交织,由表及里,由里及表,微分的微分,下一层空间的表面,织成了整个的宇宙。然而,这里没有时间,距离也只不过是欧氏距离。如果把任意距离、任意时光加进去,只保留不依赖于观察者的变化率,那么,我们就有了一个通天方程,唯一的一个,其它一切方程,不论是牛顿的、爱因斯坦的,还是张三、李四的,都是个别推论而已。这才是我们:时、空、事的大一统,我们宇宙的光辉!

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